Тоды формально заменим групповые элементы и векторы представлений алгебры д элементами и векторами представлений квантовой группы Uq(g). При этом получим

q<\%M-qM А?>,

q<\l\qM~l-чм \\i >г'

(6.12)

- Е h.iV°±i

где qM± = е 8=0 -g/U±, i = 1, ...,г. В то время, как в конечномерном случае ряд решения (6.6) обрывается и легко вычислить его порядок за порядком, в случае аффинных систем уравнений Тоды числитель, знаменатель и само решение (6.12) являются бесконечными рядами. Слагаемые рядов числителя и знаменателя представляют собой сответ-ствующие порядки действия генераторов квантованной универсальной обертывающй алгебры Ли на старшие векторы г-го и 0-го фундаментальных представлений. Однако, можно рассмотреть отношение рядов числителя и знаменателя и, используя формулу для п-го члена такого ряда [72], отыскать общую формулу для (e~v*)(n)- Как оказывается, в случае аффинных систем уравнений Тоды, выражения, полученные при помощи процедуры Янга-Фельдмана, совпадают с квантово-групповыми выражениями. В следующих подразделах мы покажем, как обобщить рассуждения работы [45] и построить квантово-групповые решения квантовых конформных и аффинных систем уравнений Тоды.

6.2 Решения квантовых конформных систем

Метод, использованный для построения квантовых решений конформных и аффинных систем Тоды с привлечением генераторов квантованной универсальной обертывающей, описанный в предыдущем подразделе, содержит ряд неточностей. Для корректного введения квантовой теории нужно задать нормальное упорядочение экспонент гейзенберговых полей, получая осмысленные и неформальные конечные выражения. Нужно отметить также, что метод построения решений для точно интегрируемых систем в классике, разработанный Лезновым-Савельевым [1], не может быть применен без дополнительных модификаций и обоснования в квантовом случае. Прежде всего, например, нужно указать способ построения квантового модифицированного разложения Гаусса [73]. Кроме того, в работах [44-47] рассматривались только квантовые конфомные системы Тоды. Мы распространим этот подход на квантовые аффинные системы Тоды.

В этом и следующем подразделах мы формулируем Предложения 1 и 2 о квантово- групповых решениях уравнений для гейзенберговых операторов полей квантовых конформных и аффинных систем Тоды. Для этого воспользуемся формализмом квантования светового конуса (см. раздел 4), который, без ущерба общности, может быть выбран в качестве способа квантования подобных систем [46,47]. Формулы для решений, содержащиеся в Предложениях 1 и 2, могут быть также доказаны в рамках других подходов квантования. Метод светового конуса является, на наш взгляд, наиболее удобным с точки зрения введения квантовых уравнений, построения и доказательства решений.

Прежде всего рассмотрим конфомные системы уравнений Тоды. Введем набор операторов квантовых полей ф{(г+} z~)} i = 1,...,г, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (4.2). Пусть также ф®(г+} z~)} i = l,...,r, - свободные квантовые гейзенберговы операторы, т.е. решения однородных уравнений (в отсутствии взаимодействия)

д+д-ф°(г+}г-) = 0. (6.13)

При этом ф®(г+} z~) = ф^(г+) -\-ф° г~). Заметим, что решения неоднородных уравнений конформных систем Тоды с фиксированной -зависимостью от одного из аргументов также удовлетворяют однородному уравнению (6.13). Пусть q±(z±) : Ai -> uGt и qp±(z±) : Ai -> uQ± - голоморфные и антиголоморфные отображения из многобразия Ai в подпространства qGo = Uq(l)) и qG± = Uq(b±) (квантованные универсальные обертывающие картановской и борелевских подалгебр). Отображения qp±(z±) удовлетворяют, как и в классике, условиям

9± ЧЦ± = qH± qK±. (6.14)

Здесь дк(г;±) : Ai -> Uq(b±)

д ±() = ±фО±гЖ±г, (6.15)

г = 1

а Ф±г- может быть выбрано в виде

/3 Е kt] ф°

Ф°,-= ve >=1 , (6.16)

где fi - константа связи, ц - константа обратной длинны, ж±г- - генераторы Шевалле квантованной универсальной обертывающей Uq(g), соответствующей алгебры Ли g с матрицей Картана к. Отображения q±(z±) могут быть выбраны различными способами. Без потери общности, можно положить

-/3 Е К Ф°±г

g7± =: е <=г :, (6.17)

где hi - картановские элементы Uq(g). Нормальное упорядочение в (6.17) вводится точно также, как это было сделано в разделе 4. При другом выборе групповых элементов д7±(-г±) смысл решений квантовых систем уравнений Тоды не меняется и доказательство проводится аналогично. Пусть, как и в классическом случае, а ог- - простые корни д. Мы формулируем

Предложение 1. Квантовые конформные системы Тоды вводятся уравнениями

А 2 г

д+д.ф +~У : е^* := 0, (6.18)

связанными с некоторой простой алгеброй Ли д, и обладают решениями - экспонентами гейзенберговых операторов полей в форме

-,Aq

: е

:= , < АЛ.ТТ1, /Ч1 ,7-1 А? > (6.19)

где i = l,...,r; a AJ >q - старшие векторы г-ж фундаментальных представлений старших весов А? квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры Ли д. Отображения чц± удовлетворяют

9± ЧЦ± = ЧЦ± qK±, (6.20)

где qK±(z±) £ qG±(g). В решениях (6.19) подразумевается нормальное упорядочение в отображениях q±(z±) и q/-i±(z±) по отношению к генераторам рождения - уничтожения состояний (4-5).

Выражение (6.19) формально совпадает (с точностью до нормального упорядочения) с классическим общим решением Лезнова-Савельева (2.4) конформных систем уравнений Тоды. Вместе с тем, решения для квантовых операторов, построенные в формализме квантования светового конуса [46,47], а также на основе квантовой группы [45], могут быть получены из (6.19).

В выражении (6.19), как и в классическом случае, возникает модифицированное разложение Гаусса элементов квантованной универсальной обертывающей Uq(g). При построении этого разложения используется понятие квантового дубля. В целом, это разложение аналогично модифицированному разложению для обычных групп [1]. Далее мы будем подразумевать существование подобных разложений для всех квантованных универсальных обертывающих простых и аффинных алгебр Ли.

Как и в классическом случае, легко проверить, что выражение (6.19) удовлетворяет квантовым уравнениям (6.18). Единственная проблема, которая могла бы возникнуть при доказательстве - умножение экспонент гейзенберговых операторов в совпадающих точках. Однако, процедура нормального упорядочения, которое подразумевается в отображениях qrj±(z±) и q/-i±(z±), устраняет этот вопрос.

Дифференцируя левую часть (6.19) и используя равенства (4.35) и (4.37) (которые следуют из коммутационных соотношений (4.2)), получаем

д+:е-:=-1-{д+рХ1ф,:е-:} =

2 L J (6.21)

= - (d+(i\\ -ф + я): е- * : .

Принимая во внимание форму отображений q±(z±) (см. (6.17)), мы можем преобразовать правую часть (6.19):

le-e-l.l,. (6.22)

Далее, дифференцируя правую часть (6.22) и, воспользовавшись вновь формулами (4.35), (4.37) и (6.20), получим

(f3d+\ (z+,z-) + ,):e-: =

= [fid+\] ф°+(г+) + я)д< A? I q Ф. I A? >q : e-W : + (6.23)

+ , < A?, + qji-+l q/i- I A? >q : e-fjX° :,

(6.24)

используя выражение (6.19) и дифференцируя по z , имеем

-f3d-d+y(z\z-) =

= q < \*\qK+ qG(z\z-) I A? >q (, < \qG(z\z-) I A? >g) 1 -- g < X!\qK+-qG(z+,z-) A? >q q < \\qG(z+ , Z~) K A? >q X

x (, < A.V;1 -qli- I A? >g)~2.

где дС7(,г+ г~) = g/i1 Далее, действуем операторами qK±(z±) на старшие векторы

представления в (6.24). Определим новое состояние

2А?-а? >д~-

! (6.25)

А? >д 0 А? - oj >q -А? - oj >д 0 А? >,).

используя тождество для двух нормализованных векторов старшего веса \Х\ >g, \Хд2 >q и любого группового элемента qG:

<\\ + \\\qG \Х\ + Х\ >q= q<X\\qG\X\ >q -q<X\\qG\X\ > (6.26)

получаем

-(3d.d+Xg -ф = п2 : е : X

< 2X\-ag\qG{z\z-) 2A? - a? >g (, < A?eG(s+,0 A? >,)

(6.27)

При этом состояние (6.25) является по построению нормализованным состоянием старшего веса. Поэтому мы можем использовать (6.19) в выражении (6.27). Далее доказательство формально не отличается от доказательства в классическом случае. Принимая во внимание свойства фундаментальных представлений старших весов квантованной универсальной обертывающей Uq(g), заключаем, что (6.19) является решением уравнения (6.18).

6.3 Решения квантовых аффинных систем

Сформулируем теперь аналогичное утверждение для квантовых аффинных систем уравнений Тоды. Выражения (2.13) и (6.19) подсказывают нам форму решений в этом случае. Пусть, как и в предыдущем подразделе, ф{ - гейзенберговы операторы поля, удовлетворяющие соотношениям (4.2). Тогда мы имеем следующее

Предложение 2. Квантовые аффинные системы Тоды вводятся уравнениями

д+Э-ф +f(± т : :-±: е-> \ = 0, (6.28)

связанными с некоторой аффинной алгеброй Лид, и обладают решениями - экспонентами гейзенберговых полей в форме

- \1\ -1 л, \9 4mi v

где i = l,...,r; \Xj >q - старшие векторы г-ж фундаментальных представлений старших весов Xi квантованной универсальной обертывающей Uq(g) аффинной алгебры Лид, a mi -отметки на диаграммах Дынкина. Отображения q/-i±(z±) удовлетворяют

d±q± = чц± дк±, (6.30)

где qn± g qG±. В решениях (6.29) подразумевается нормальное упорядочение в отображениях q±(z±) и q/-i±(z±) по отношению к генераторам рождения-уничтожения состояний (4-6).

Здесь, как и ранее, qr)±{z±) : М -У иб/ = Ми(Ь) и qfl±{z±) -М -У иб± = Ии{Ь±) - голоморфные и антиголоморфные отображения из многообразия Ai в квантованную универсальную обертывающую алгебру Uq(g) алгебры д. В условии (6.30)

qn±(z±)

8 = 0

0 дрц*°±]

ф^. = е j=° , (6.32)

где x±i - генераторы Шевалле квантованной универсальной обертывающей Uq(g). Как и в случае квантовых конформных систем Тоды, в элементах квантовой группы q±(z±) и ql~i±(z±) используется модифицированное разложение Гаусса [60]. Доказательство того, что (6.29) является решением квантовых уравнений (6.28) аналогично доказательству в конформном случае, изложенному выше.

Можно указать некоторые соображения по которым построенные нами квантовые решения могут считаться, на самом деле, общими решениями. Под общим решением квантовых конформных (аффинных) систем уравнений Тоды мы подразумеваем (по аналогии с классикой) такое выражение для гейзенбергова оператора, из которого тем или иным способом (редукцией или пределом), могут быть получены все другие решения данных систем уравнений. Однако, даже в случае классического общего решения аффинных систем Тоды возникают вопросы обоснования и правомерности применения методов, разработанных для конформных систем Тоды. В некотором смысле, общее решение аффинных систем уравнений Тоды, построенное в [16], не является, строго говоря, общим с точки зрения теоретико-группового подхода Лезнова-Савельева.

6.4 Сравнение подходов

Мы должны отметить, что на данный момент в квантовом случае аналогия с хорошо проработанным классическим теоретико-групповым методом Лезнова-Савельева [1]

проведена не полностью. Прежде всего, остается неясным, как для квантовых аналогов классических точно интегрируемых систем нужно вводить пары операторов Лакса, содержащие элементы квантованной универсальной обертывающей Uq(g) соответствующей алгебры Ли. Как мы уже упоминали, в квантовых элементах плоских связностей (4.18) и (4.28), введенных в [46,47] и в подразделе 4.2, содержатся как гейзенберговы операторы полей, удовлетворяющие квантовым уравнениям (4.16), (4.40), так и элементы обычных конечномерных или аффинных алгебр Ли. При этом в решениях подразумевались групповые элементы соответствующих обычных групп, параметризованные гейзенберговыми операторами полей. Возможно именно это является причиной необходимости введения бесконечных констант с в таких парах (заметим, однако, что с отсутствуют в окончательных выражениях для решений). Однако, как было показано в [48], даже в случае использования таких пар операторов Лакса проявляется некоторая квантово-групповая структура теорий. Кроме того, остается неясным алгебраическое происхождение членов, содержащих О (см. (4.18) и (4.28)). Можно было бы думать, что пары операторов Лакса (4.18) и (4.28) возникают в результате некоторого калибровочного преобразования симметричных вариантов пар операторов Лакса А± = 2(u±aha + f±ax±a) (здесь и±а , f±a - операторы). Однако такое преобразование

а

неизвестно. Надеемся, что в дальнейшем, на основе элементов квантованных универсальных обертывающих удасться построить подходящие элементы квантовых связностей, не содержащие вспомогательных бесконечных констант. При этом условие нулевой кривизны будет приводить к квантовым уравнениям конформных и аффинных моделей Тоды.

Доказательства Предложений 1 та 2 можно провести также аналогично процессу построения решений в разделе 4.1. Однако, решения (4.23), (4.45) и (6.6), (6.12), найденные в разделах 4.1 и 4.2, являются частными случаями решений (6.19) и (6.29). Дело в том, что в групповых элементах g(z+}z~) в (4.23) и в операторах Лакса ш± и ш± в (4.18) и (4.28) используются генераторы обычных алгебр Ли, в то время, как в групповых элементах q±(z±) и qp±(z±) в (6.19), (6.29) и дк± в (6.15), (6.31) задействованы генераторы квантованных универсальных обертывающих алгебр. Таким образом, решения (4.23) и (4.45) являются, в некотором смысле, линейными приближениями решений (6.19) и (6.29) соответственно.

В самом деле, рассмотрим случай алгебры д = si1} которой соответствует квантовое уравнение Лиувилля

<9+<9 (/?Ф) + 2а2а : ерф := 0. (6.33)

Конечное выражение для оператора экспоненты (4.24) гейзенбергова поля (решения квантового уравнения Лиувилля) в построении [46,47] имеет вид

е Ф(г+,г-)

е-ф(*+.о)

. е|ф(о,о) . е^-Д 9(о) +

(6.34)

/(*+.о) \

\(о,о) /

X j : е^ф :

\(о,о) /

Как мы видим, бесконечная константа не входит в окончательное выражение. Если мы избавимся в (6.34) от нормального упорядочения, используя тот факт, что

е-ф(о,о)

Щё-Агед(0)

мы получим следующее выражение

е-Ф(*+,г-) = е-Ф(г+,о)

е Ф(0,о) +

/(*+.о) \

\(о,о) /

\(о,о) /

ф(*+,о) . е-ф(о,о) . е-Ф(о,г-)

e-hp2A(o) . е-ф(о,0).

е-ф(о,г-)

(6.36)

1 + а2ае-2Аге9(°)ф+ф- ] .

С другой стороны, используя (6.8)-(6.10) в случае квантового уравнения Лиувилля, получаем

(е~%) = е

( %) = -(е~%) = 0

Окончательный результат имеет вид

о 2 к;

1-е 2

(6.37)

2w ih

1-е 2 ф+ф

(6.38)

Не удивительно, что (6.36) отличается от (6.38). Причина состоит в том, что в (6.19) присутствуют элементы квантовой группы, наличие которых приводит к дополнительным множителям во втором уравнении (6.37), ввиду нелинейности правой части коммутатора (6.3) генераторов ж+, ж квантовой группы Uq(si1). Таким оразом, метод построения решений, сформулированный в Предложениях 1 и 2, обобщает подходы работ [46,47] и [45]. Та же ситуация имеет место и в случае квантовых аффинных систем Тоды.

7 Заключение

8 данной работе мы излагаем некоторые основные положения нового метода формулировки и квантования двумерных точно интегрируемых систем на основе квантовых групп. Иллюстрациями к общим методам послужили квантовые конформные и аффинные системы Тоды. На примере этих систем мы показываем, как вводить квантовые двумерные точно интегрируемые системы, конструируя квантовые аналоги элементов плоских связностей (пары операторов Лакса). Далее, представлен метод нахождения решений таких систем на основе элементов квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли.

Наш подход состоит в выборе одного из стандартных способов квантования, скажем, метода светового конуса [46]. В этом случае нужно ввести квантовые уравнения аффинных (конформных) систем Тоды, например, путем определения нормального упорядочения экспонент. Решение квантовых аффинных уравнений Тоды может быть гейзенберговым оператором. Опыт в этом направлении показывает, что формальное решение таких уравнений строиться на основе квантовых групп [44]. Мы сформулировали и доказали Предложения 1 и 2 о квантово-групповых решениях введенных в разделе 4 квантовых уравнений конформных и аффинных систем Тоды. На основе предварительных результатов можно сделать предположение о том, что подобные решения являются, на самом деле, общими решениями для экспонент гейзенберговых операторов полей. При этом понятие квантового общего решения определяется нами аналогично стандартному понятию общего решения в классике.

В настоящей работе мы продемонстрировали некоторые результаты в направлении общего метода интегрирования квантовых двумерных систем. Нужно отметить, что этот новый метод, использующий теорию квантованных универсальных обертывающих алгебр Ли, находится еще в самом начале развития и далек от завершения. Можно только схематично систематизировать отдельные результаты в этом направлении. Однако, как представляется автору, этот метод имеет достаточно общий характер. Принципы построения и интегрирования квантовых точно интегрируемых систем могут быть применены не только к системам, родственным конформным и аффинным системам Тоды, но и к другим точно интегрируемым системам, воникающим в алгебраическом подходе. Всегда, когда есть возможность ввести некую деформацию (Ли)- алгебраической структуры, на основе которой построена система и для которой в классике применим метод интегрирования Лезнова-Савельева [1,2], существует воз-

можность корректно построить аналогичную квантовую систему и ее решения на основе этой деформированной структуры.

В качестве возможных приложений нашего метода, можно указать некоторые факты из теории Ъ-с систем [62,63] - квантовых двумерных фермионных систем, в которых поля зависят от координат на римановых поверхностях. Не углубляясь в суть, можно отметить, что корреляционные функции данной модели имеют вид, формально напоминающий теоретико-групповые решения типа Лезнова-Савельева [1], точнее, квантовые аналоги подобных классических решений. С другой стороны, корреляционные функции 6-с-систем являются простейшим примером обобщенных ядер Коши, введенных в работах [64]. Как показывает дополнительный анализ, подобные фермионные системы, связаны с континуальными алгебрами Савельева-Вершика [65-69]. Континуальные алгебры представляют собой действительно бесконечномерные обобщения алгебр Каца-Муди [19]. Можно проследить также некоторую теоретико-групповую структуру вышеуказанных корреляционных функций и их алгебраический смысл. Для других подобных двумерных систем на римановых поверхностях можно также вычислить корреляционные функции на основе обощенных ядер Коши.

Точно интегрируемые системы, построенные на основе континуальных алгебр, инересны также с точки зрения физических приложений. Заметим, что в некоторых конкретных примерах алгебр Савельева-Вершика и, соответственно, интегрируемых систем на основе этих алгебр, используются обобщенные ядра Коши в их простейших видах [68]. Естественно, что после проведения подобающей процедуры квантования, общий метод, изложенный в работе, применим и к подобным системам.

Некоторые последние результаты развития теории точно интегрируемых систем можно найти в работах [74-76].

В заключение мы хотели бы отметить, что все методы, демонстрируемые в работе, применимы и к суперсимметрическим обобщениям двумерных точно интегрируемых систем [1,2,77,78].

8 Благодарности

Автор благодарен Александру Витальевичу Разумову за многочисленные ценные обсуждения, советы и помощь. Хотелось бы выразить искреннюю признательность А. Замолодчикову, В. Фатееву, С. Лукьянову, В. Винникову за доброе отношение к нашей работе и полезные замечания. Также весьма интересными оказались разъяснения и комментарии А. М. Вершика, Ж. - Л. Жерве, Л. Д. Соловьева, Г. П. Пронько, Л. Феррейры. Отдельно упомянем людей, принимавших участие в обсуждениях и оказавших моральную поддержку нашей деятельности: Е. Я. Гурарий, С. М. Клишевич, Д. Левин, О. Хасанов.

Список литературы

[1] А. Н. Лезнов, М. В. Савельев. Групповые методы в теории нелинейных интегрируемых систем. Москва, Наука , 1982; Английский перевод: Group-Theoretical Methods for Integration of Non-Linear Dynamical Systems. Progress in Physics Series, v. 15, Birkhauser-Verlag, Basel, 1992;

[2] A. V. Razumov, M. V. Saveliev. Lie algebras, Geometry, and Toda-type systems. Cambridge lecture notes in physics. Cambridge University Press. 1997;

[3] Б. А. Дубровин, И. M. Кричевер, С. П. Новиков. Интегрируемые системы I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4, ВИНИТИ, 1985;

[4] М. А. Олыпанецкий, A.M. Переломов. Интегрируемые системы и конечномерные алгебры Ли. Интегрируемые системы П. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-1, ВИНИТИ, 1985;

[5] Л. А. Тахтаджян. Л. Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории солитонов. Москва, Наука . 1986; English translation: L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer-Verlag, 1987;

[6] A. C. Newell. Solitons in mathematics and physics. Society for Industrial and Applied Mathematics, русский перевод: А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике. Москва. Мир , 1989;

[7] A. Yu. Morozov. Integrability and matrix models. ITEP-M2/93, ITFA 93-10, Phys. Usp. 37, 1-55, 1994, hep-th/9303139;

[8] M. B. Green, J. H. Schwarz, E. Witten. Superstring theory, русский перевод: M. Грин, Дж. Шварц. Е. Виттен. Теория суперструн, т. 1-2, Москва, Мир , 1990;

[9] С. Gomez, М. Ruiz-Altaba, G. Sierra. Quantum groups in two-dimensional physics. Cambridge University Press, 1996;

[10] K. Nomura. Correlation functions of the 2D sine-Gordon model. J. Phys. A28, 5451-5468, 1995, cond-mat/9504074;

[11] M. Jimbo, R. Kedem, T. Kojima, H. Konno, T. Miwa. XXZ chain with a boundary. Nucl. Phys. B441 (1995) 437-470, hep-th/9411112;

[12] Г. H. Шикин. Основы теории солитонов в общей теории относительности. Москва, УРСС , 1995;

[13] М. Hasenbusch, М. Marcu, К. Pinn. The Sine Gordon Model: Perturbation Theory and Cluster Monte Carlo. Preprints CERN TH.7374/94, MS-TPI-94-9. Physica A211 255, 1994, hep-lat/9408005;