Для того, чтобы левая часть уравнения (4.17) была равна нулю, нужно положить

ih(32 г/ ч ,

я = -(4.22)

Бесконечная константа входит в квантовые операторы Лакса (4.18), но отсутствует в окончательных выражениях для решений уравнений (4.16).

По аналогии с классическим случаем, можно построить решение уравнения (4.16), используя свойства представления старшего веса соответствующей алгебры Ли д. Решения для гейзенберговых операторов имеют вид

: е

:= < А,- g(z+,0)-g-1(0,z-) А,- > : е ) :,

(4.23)

где Р = (z+}z~) - произвольная точка внутри светового конуса, (z+,0) и (0, г;-) - точки на ветвях 1, а Аг- > - старшие векторы г-х фундаментальных представлений. Вычисляя групповые элементы g(z+}0) и д 1(0, ,г~), находим

(s+,0)

Техр j В+ dz±

(0,0)

и : е

-ip(0,0)-h

(4.24)

где

Техр J uj dzx \ (о,о)

1А,- >

8 = 1

U = 62

й/32Дге9(0)П

(4.25)

(4.26)

Г-экспоненты в формуле (4.24) обозначают -упорядочение на световом конусе. При некоторых условиях, выражение (4.24) имеет конечное действие на фоковском пространстве Т(1Т) [47].

4.2 Аффинные системы Тоды

В этом подразделе мы применим формализм квантования светового конуса к аффинным системам уравнений Тоды на конкретном примере квантовой системы sin-Гордон. Пусть, как и в предыдущем подразделе, (f>(z+}z~) - гейзенбергов оператор поля, удовлетворяющий каноническим коммутационным соотношениям (4.2) (г = j), (3 - константа связи. Мы построим квантовое уравнение sin-Гордон и квантовую пару операторов Лакса на основе аффинной алгебры Ли siz. Заметим, что в определениях и выражениях (4.19) и (4.21) присутствуют элементы обратной матрицы к матрице Картана. Поэтому воспользуемся петлевой аффиннизацией [19] алгебры Ли siz с

параметром А. Из (4.13), (4.14) и (4.21) имеем (в случае алгебры slz) Фг = Ф = л/2</> и ф = -(Зф. Обозначим

1 ~ (4.27)

Р = Ф-

Тогда, следуя работе [46], можно ввести квантовые операторы Лакса. Условие нулевой кривизны, примененное к паре операторов Лакса приводит к квантовому уравнению sin-Гордон.

Введем операторы:

ш+ = hd+p + о(ж+ + Аж ) + cfi, ш- = асг (: е?ф : ж + А 1 : е^ф : ж+ . ,

(4.28)

здесь h, ж , ж - генераторы алгебры slz, а, с, о - константы и О = \h2. Нормальное упорядочение в (4.28) определено также, как и в предыдущем подразделе. Из условия нулевой кривизны для операторов ш±

имеем

ао 8+ (: ерф

[д+ +£+, <9 + £ ] = О, : + А 1 (: е~~рф ) х+) - d+d ph+

+осг

d+ph}: ерф : ж + aa\~l d+ph}: е~рф :

+aV (j ew : - : е~13ф :) h - aaq : ew : {h, ж } +

+а<тА Ч : е- : {Д,ж+} = 0. Последнее равенство эквивалентно следующим двум:

аад+ (: J4 ) ж - д+д-ph + ао \d+ph}: J4 : ж 1 +

+aV (: ew : - : :) Л - : : {/i, ж } = 0,

(4.29)

(4.30)

(4.31)

3+ [. е-рф :) ж+ +

Здесь мы воспользовались свойством О:

[0,ж±] = ±{Д,ж±},

и легко проверяемым тождеством

[а А,Ъ В}=1-([а,Ъ}{А,В} + {а, 6} [А, Б]

<9+/оД,: : ж+ + <j : : {h, ж+} = 0

(4.32)

(4.33)

в котором операторы А, В коммутируют с а, Ъ (в нашем случае а, Ъ - операторы, зависящие от полей и А, В - генераторы алгебры Ли slz). Заметим, что из коммутационных соотношений (4.2) следует, что коммутатор д+Ф{ и Фг в одной и той же точке коммутирует с Фг-, откуда легко видеть, что

(4.34)

Ввиду определения (4.15), то же верно и для нормально упорядоченных экспонент:

Из (4.35) следует, что

д+:е±ёФ:=±{д+Рр,:е±ёФ:}

Помимо этого, исходя из коммутационных соотношений (4.2), мы заключаем

d+4>i(z+,z-),:e откуда следует

Tih(325t35{z+ - z+) : е^м^)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

d+p(z+,z-),: e=w(*+-*-) : = T-iH(328(z+ - z+)

(4.38)

Сравнение слагаемых в (4.31), (4.35) и формул (4.38) определяет выбор константы в (4.28)

я = -±fs(0), (4.39)

(как и ранее, бесконечная константа исчезает из окончательных выражений). При этом из (4.31) получаем квантовое уравнение sin-Гордон.

д+д-ф

2а2а

: е

-РФ .

(4.40)

В уравнении (4.40) и в квантовой паре операторов Лакса (4.28) можно заменить (3 на (3. Поскольку а - произвольная константа, то можно положить а2

2Ц

и тогда

коэффициенты в квантовом уравнении (4.40) совпадают с коэффициентами уравнения sin-Гордон в классике (2.14).

Теперь мы построим решение уравнения (4.40) также, как это было сделано в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть g - групповой элемент. Условие нулевой кривизны (4.29) подразумевает градиентную форму

д±9 1 = 9 д±9 = -и±д.

(4.4Г

Следовательно,

д.<\г\д = -ао < л,- (: : Л + : е~РФ : /0) д = о, (4.42)

где fx = ж , /о = А 1ж , - понижающие генераторы, а < Аг, г = 0,1, - векторы старшего веса г-го фундаментального представления алгебры siz. Заметим, что

d+ (g-1 : e~ph :) = {d+g1) : e~ph : +g~1d+ (: б 1 :) = = (g-lu+) : в 1 : -\g~l {8+ph,: e :} =

= g-1 (u5+ - d+Ph) : e~ph : [<9+рД,: e * :] = (443)

<7 1 - d+ph - 0) : e

# 1 (a (e0 + ei))

где ei = ж , e0 = Аж - повышающие генераторы алгебры Ли s[2. Следовательно,

9+ (д-1 : е- л : А,- >) = g~la (е0 + ei) : e~ph : А,- >= 0, (4.44)

г = 0,1. Мы заключаем, что правая часть выражения

. е- (*+,*-) .= < Ах g(z+,z-) g-yz\z-)j e~ph : Ах > 4

< X0\g(z+,z-) g-1(z+,z-)\X0>

не зависит от z и равна : e~p(z+,z ) : при 2 = г;1*1. В классическом пределе квантовое выражение (4.45) переходит в общее решение для аффинной системы уравнений Тоды (2.13). Таким образом, для некоторой точки Р = (z+}z~) внутри светового конуса и двух точек на ветвях 1 мы имеем выражение для гейзенбергового оператора.

Легко вычислить групповые элементы в (4.45). Поскольку правая часть выражения не зависит от , то, без потери общности, можно положить ~z+ = И~ = 0. Из (4.41) следует, что

g~l(Q,z~) = g 1(0,0) Техр j £ dz . (4.46)

(0,0)

Далее, на основе (4.43) получаем

d+ (: eph :g)=-a (: eph : g) (ж+ + \x )g. (4.47)

Из коммутационных соотношений алгебры siz следует тождество

ephx± = х± е±2р ерк. (4.48)

Однако, экспоненты от оператора р в (4.48), не являюця нормально упорядоченными и не имеют конечного действия в фоковском пространстве Т(1Т). Заменим операторы

полей в (4.48) регуляризованными выражениями, определенными в (4.11), а в конечном результате возьмем pi -У со, i = 1,2. используя коммутационное соотношение (4.9), получаем следующие тождества:

e±Ph =. e±Ph . е|й/з2дге9(о)п

еРФ =. еРФ . еЙ/32Дге9(0)

Далее имеем

: eph : ж+

и-1х+и{: е2р :) (: ерН :) е^2дге9(°), А : ep/l : Аж = и^Аж.и (: е~2р :) (: е'л :) е^2Д 9№

где

и = е2

Следовательно,

где

д+ (и : eph :g) = B+- (и: eph : g)

-а (ж+ : е2р : +Аж : е 2р :) Уравнение (4.53) может быть легко проинтегрировано:

2р \ Нр2Агея(0)

( (*+,0) \

и : eph : flf(+,0) = В результате, мы можем переписать (4.45) как

Техр J В+ dz\ (о,о) ]

и: eph : (/(0,0).

: е

-р(+, ) .

< Ai G : е- (°г )л : Ai > <А0С|Ао>

где

( (*+,о) \

Техр J В+ dz\ (о,о)

. Pp(o,o)h .

sU- : е

(0,z-)

Техр J oL б?г;1

(o,o)

(4.49) (4.50)

(4.51)

(4.52) (4.53) (4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

Отметим, что выражение (4.56) формально совпадает (если не учитывать нормального упорядочения) с выражением для общих решений классических аффинных систем уравнений Тоды, полученных в соответствие с методом Лезнова-Савельева [1,16].

5 Подход Янга-Фельдмана

Процедура Янга-Фельдмана - пертурбативный метод вычисления операторов полей квантовой теории в разложении по свободным полям [1,71]. В данном разделе вспомним, следуя [44,45], результаты вычислений порядков разложения гейзенберговых операторов, удовлетворяющих квантовым конформным и аффинным системам уравнений Тоды по операторам полей в отсутствии взаимодействия.

Мы начнем с квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть <ра, а = 1, ...,г, - операторы поля, удовлетворяющие квантовым аналогам уравнений конформной системы Тоды, эквивалентным по форме уравнениям (2.3). При этом асимптотические поля г°±а, а = 1,...,г, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям

(5.1)

(здесь с - стандартная знаковая функция). Далее, пусть

г

/3=1

(5.2)

Г

13=1

где ка[з - элемент матрицы Картана соответствующей алгебры Ли g, a wa - симметриза-тор (диагональная матрица), удовлетворяющая соотношению

wakap = wpkpa, (5.3)

о, fi = 1,...,г. Тогда, соответственно,

кар = kcpWp1.

В формализме Янга-Фельдмана [1, 44], га-й порядок оператора экспоненты

гейзенбергова поля дается выражением

\е )(п)

+ 00

dzx...dznQ(t - ti)...6>(tn i - tn):

(5.5)

-,Vu,...,Kn

где 9(z - z) - 6(z+ - J+) 9(z~ - J~) - обычная ступенчатая функция, a

a = l

В (5.5) использовано обозначение

[А,В,...,С]=[[...,[А,В],...],С]. Выражение (5.5) может быть переписано в виде

\е )(п)

+ 00

dz1...dzn6(z - z1)...6(zn 1 - zn):

(гНУ

(5.6)

(5.7)

(5.8)

х ]Г [e-*>°,Vlkl,...,Vnkn

Р(ки...,к„)

где Р(к\, ...}кп) обозначает перестановку индексов (£4, ...,кп). Оператор экспоненты поля в первых трех порядках процедуры Янга-Фельдмана (5.8) имеет вид

(е )(о) (e )(i)

- р.

,о 2wn

-ч>.

ih о 2wr,

1-е 2Ша I ф+фа,

1-е 2

\ - g 2 Кат

а7 а7

где а = 1,..., г, и

Ф

(z±)= I dzfeM) I dz±e<&\.. I dziem).

0 f ±4

(5.9)

(5.10)

Таким образом,

dz±e(zt\

(5.11)

(5.12)

Отметим, что в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды, ряд (5.8) - конечный, т.е. обрывается после некоторого порядка. Как будет пояснено позднее (см. раздел 6), это свойство указывает (как и в классике) на некоторую внутреннюю алгебраическую структуру квантовых конформных систем уравнений Тоды. Выражение для п-го порядка разложения решения (5.8) можно найти в [44].

Процедура Янга-Фельдмана применима также и к аффинным системам уравнений Тоды. При этом удобно использовать петлевую реализацию аффинной алгебры д. Как и в случае конформных систем, гейзенберговы операторы поля <ра удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (5.1) и квантовым уравнениям, по форме совпадающим с (2.12). Классические поля в (2.12) формально заменены на гейзенберговы операторы. Однако, вместо оператора возмущения (5.6), нужно использовать другой оператор. Например, в частном случае систем уравнений аффинной Тоды - модели sin-Гордон, имеем

VtJ = V{zf,zj) = 2w

(здесь w - константа), что дает

о 2w

1-е 2 ] Ф+Ф+

1 - 62 ) Ф+Ф

где мы вводим

Ф1(г~) = J dz7e°\

(5.13)

(5.14) (5.15)

(5.16)

а ф° определено в выражении (5.2). Тогда п-й порядок оператора экспоненты поля дается выражением (5.5) с оператором взаимодействия (5.13). Заметим, что в случае аффинных систем, мы получаем бесконечные ряды разложения гейзенберговых операторов. Однако, как и в случае конформных систем Тоды, можно отыскать общую формулу для экспоненты гейзенбергова оператора в любом порядке.

6 Квантово-групповые решения систем Тоды

6.1 Построение квантовых решений с использованием генераторов квантовых групп

Первоначально, связь между квантованием систем уравнений конформной Тоды и квантовыми группами была подмечена в работе [45]. Действительно, рассмотрим тодовские поля <£>г-, г = 1,г, как гейзенберговы операторы, удовлетворяющие некоторому квантовому аналогу конформной системы уравнений Тоды в форме (2.3), в которой классические поля заменены на операторы полей. Применим, следуя работе [44] (см. также [1]), пертурбативную процедуру Янга-Фельдмана (см. предыдущий раздел). Мы приходим к точным явным выражениям для экспонент гейзенберговых операторов tpi в виде конечных рядов по операторам свободных полей (/7°, удовлеторяющих каноническим коммутационным соотношениям. В этом подразделе мы покажем, что формальные выражения, построенные на основе классических решений подхода Лезнова-Савельева, но содержащие генераторы квантовых групп, совпадают с пертурбативными решениями систем уравнений Тоды, полученными в рамках процедуры Янга-Фельдмана.

Возьмем общее решение (2.4) уравнений конформной системы Тоды (2.3) и формально заменим групповые элементы в правой части некоторыми элементами квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры Ли д, на основе которой построена система уравнений (2.3). Заменим также старшие векторы Аг- > фундаментального представления старшего веса старшими векторами фундаментального представления А? >q квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры д, а отображения к± в (2.5) - квантовыми отображениями дк± : Ai -У Uq(g)

г

8 = 1

Ф°,. = е& ±\ (6.2)

где x±i, i = l,...,r, - генераторы Шевалле Uq(g).

Вместо коммутационных соотношений (2.1) генераторы квантованной универсальной обертывающей удовлетворяют деформированным коммутационным соотношениям, например, в форме Джимбо-Дринфельда [52,54]:

[Ы,] = о, (б.з)

[hi,x±j] = ±к1гх±1, (6.4)

hi -hi

[xi,Xj] = 8ij--Ьт , (6.5)

Чг ~ Чг

где qi = ed,h, Н - константа Планка и б?г- - сопряженные простые целые такие, что d к - симметрическая матрица. Тогда мы получаем следующее формальное выражение в форме решений Лезнова-Савельева [45]

е = , < А?I М-1 qM А?> (6.6)

Е hiV°±i

где qM± = е 8=1 g/u± - элементы квантовой группы Uq(g), a г = 1,...,г, - кар-тановские элементы 7g(g). Групповые элементы g/u± удовлетворяют условию

9± g/i± = g/i± qK±. (6.7)

При этом, как и в классическом случае, в силу свойств фундаментальных представлений старших весов Uq(g), число членов в рядах разложения решения (6.6) конечно и точно равно размерности г-ro фундаментального представления Uq(g). Легко найти, например, первые три порядка разложения (6.6):

е-<% = ,<А?е -1 3,\\]>q=e-, (6.8

()(1) = -Еффр

IA? >

p=i о 2wj

1 - е

(6.9)

Е q < \Чг\х + в Х+т Ж р Ж д А? >а Ф^Ф б

о

е v+ у е 4 -- 5/1 0=1

2wi ( ih \ 2we , (ih

4WJ lhshV-J-ke))e

(6.10)

Здесь

/Z~ PZ~

dzT j dz~e(z- - z7)ee... = е ф- , (6.11)

г = l,...,r, a kpq, Wi были определены в (5.3) и (5.4). Операторы Ф^, Ф^- - те же, что ив (5.11), (5.12). Выражение для п-го порядка разложения (6.6) можно найти в [45]. Легко видеть, что первые три порядка (6.8) - (6.10) совпадают с (5.9). Это же верно и для любого порядка. Таким образом, как было показано в [45], пертурба-тивные выражения, найденные в подходе Янга-Фельдмана для квантовых конформных систем уравнений Тоды, совпадают с квантово-групповыми выражениями, содержащими генераторы квантованной универсальной обертывающей алгебры Uq(g) вместо элементов обычной группы.

По аналогии со случаем конформных систем уравнений Тоды, можно построить квантово-групповые решения в духе работы [45] для аффинных систем уравнений Тоды. В формуле общего решения (2.13) для классических систем уравнений аффинной