|
Разделы
Главная
Сапромат
Моделирование
Взаимодействие
Методы
Инновации
Индукция
Исследования
Факторизация
Частоты
Популярное
Как составляется проект слаботочных сетей?
Как защитить объект?
Слаботочные системы в проекте «Умный дом»
Какой дом надежнее: каркасный или брусовой?
Как правильно создавать слаботочные системы?
Что такое энергоэффективные дома?
|
Главная » Квантование 1 2 3 4 Для того, чтобы левая часть уравнения (4.17) была равна нулю, нужно положить ih(32 г/ ч , я = -(4.22) Бесконечная константа входит в квантовые операторы Лакса (4.18), но отсутствует в окончательных выражениях для решений уравнений (4.16). По аналогии с классическим случаем, можно построить решение уравнения (4.16), используя свойства представления старшего веса соответствующей алгебры Ли д. Решения для гейзенберговых операторов имеют вид : е := < А,- g(z+,0)-g-1(0,z-) А,- > : е ) :, (4.23) где Р = (z+}z~) - произвольная точка внутри светового конуса, (z+,0) и (0, г;-) - точки на ветвях 1, а Аг- > - старшие векторы г-х фундаментальных представлений. Вычисляя групповые элементы g(z+}0) и д 1(0, ,г~), находим (s+,0) Техр j В+ dz± (0,0) и : е -ip(0,0)-h (4.24) где Техр J uj dzx \ (о,о) 1А,- > 8 = 1 U = 62 й/32Дге9(0)П (4.25) (4.26) Г-экспоненты в формуле (4.24) обозначают -упорядочение на световом конусе. При некоторых условиях, выражение (4.24) имеет конечное действие на фоковском пространстве Т(1Т) [47]. 4.2 Аффинные системы Тоды В этом подразделе мы применим формализм квантования светового конуса к аффинным системам уравнений Тоды на конкретном примере квантовой системы sin-Гордон. Пусть, как и в предыдущем подразделе, (f>(z+}z~) - гейзенбергов оператор поля, удовлетворяющий каноническим коммутационным соотношениям (4.2) (г = j), (3 - константа связи. Мы построим квантовое уравнение sin-Гордон и квантовую пару операторов Лакса на основе аффинной алгебры Ли siz. Заметим, что в определениях и выражениях (4.19) и (4.21) присутствуют элементы обратной матрицы к матрице Картана. Поэтому воспользуемся петлевой аффиннизацией [19] алгебры Ли siz с параметром А. Из (4.13), (4.14) и (4.21) имеем (в случае алгебры slz) Фг = Ф = л/2</> и ф = -(Зф. Обозначим 1 ~ (4.27) Р = Ф- Тогда, следуя работе [46], можно ввести квантовые операторы Лакса. Условие нулевой кривизны, примененное к паре операторов Лакса приводит к квантовому уравнению sin-Гордон. Введем операторы: ш+ = hd+p + о(ж+ + Аж ) + cfi, ш- = асг (: е?ф : ж + А 1 : е^ф : ж+ . , (4.28) здесь h, ж , ж - генераторы алгебры slz, а, с, о - константы и О = \h2. Нормальное упорядочение в (4.28) определено также, как и в предыдущем подразделе. Из условия нулевой кривизны для операторов ш± имеем ао 8+ (: ерф [д+ +£+, <9 + £ ] = О, : + А 1 (: е~~рф ) х+) - d+d ph+ +осг d+ph}: ерф : ж + aa\~l d+ph}: е~рф : +aV (j ew : - : е~13ф :) h - aaq : ew : {h, ж } + +а<тА Ч : е- : {Д,ж+} = 0. Последнее равенство эквивалентно следующим двум: аад+ (: J4 ) ж - д+д-ph + ао \d+ph}: J4 : ж 1 + +aV (: ew : - : :) Л - : : {/i, ж } = 0, (4.29) (4.30) (4.31) 3+ [. е-рф :) ж+ + Здесь мы воспользовались свойством О: [0,ж±] = ±{Д,ж±}, и легко проверяемым тождеством [а А,Ъ В}=1-([а,Ъ}{А,В} + {а, 6} [А, Б] <9+/оД,: : ж+ + <j : : {h, ж+} = 0 (4.32) (4.33) в котором операторы А, В коммутируют с а, Ъ (в нашем случае а, Ъ - операторы, зависящие от полей и А, В - генераторы алгебры Ли slz). Заметим, что из коммутационных соотношений (4.2) следует, что коммутатор д+Ф{ и Фг в одной и той же точке коммутирует с Фг-, откуда легко видеть, что (4.34) Ввиду определения (4.15), то же верно и для нормально упорядоченных экспонент: Из (4.35) следует, что д+:е±ёФ:=±{д+Рр,:е±ёФ:} Помимо этого, исходя из коммутационных соотношений (4.2), мы заключаем d+4>i(z+,z-),:e откуда следует Tih(325t35{z+ - z+) : е^м^) (4.35) (4.36) (4.37) d+p(z+,z-),: e=w(*+-*-) : = T-iH(328(z+ - z+) (4.38) Сравнение слагаемых в (4.31), (4.35) и формул (4.38) определяет выбор константы в (4.28) я = -±fs(0), (4.39) (как и ранее, бесконечная константа исчезает из окончательных выражений). При этом из (4.31) получаем квантовое уравнение sin-Гордон. д+д-ф 2а2а : е -РФ . (4.40) В уравнении (4.40) и в квантовой паре операторов Лакса (4.28) можно заменить (3 на (3. Поскольку а - произвольная константа, то можно положить а2 2Ц и тогда коэффициенты в квантовом уравнении (4.40) совпадают с коэффициентами уравнения sin-Гордон в классике (2.14). Теперь мы построим решение уравнения (4.40) также, как это было сделано в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть g - групповой элемент. Условие нулевой кривизны (4.29) подразумевает градиентную форму д±9 1 = 9 д±9 = -и±д. (4.4Г Следовательно, д.<\г\д = -ао < л,- (: : Л + : е~РФ : /0) д = о, (4.42) где fx = ж , /о = А 1ж , - понижающие генераторы, а < Аг, г = 0,1, - векторы старшего веса г-го фундаментального представления алгебры siz. Заметим, что d+ (g-1 : e~ph :) = {d+g1) : e~ph : +g~1d+ (: б 1 :) = = (g-lu+) : в 1 : -\g~l {8+ph,: e :} = = g-1 (u5+ - d+Ph) : e~ph : [<9+рД,: e * :] = (443) <7 1 - d+ph - 0) : e # 1 (a (e0 + ei)) где ei = ж , e0 = Аж - повышающие генераторы алгебры Ли s[2. Следовательно, 9+ (д-1 : е- л : А,- >) = g~la (е0 + ei) : e~ph : А,- >= 0, (4.44) г = 0,1. Мы заключаем, что правая часть выражения . е- (*+,*-) .= < Ах g(z+,z-) g-yz\z-)j e~ph : Ах > 4 < X0\g(z+,z-) g-1(z+,z-)\X0> не зависит от z и равна : e~p(z+,z ) : при 2 = г;1*1. В классическом пределе квантовое выражение (4.45) переходит в общее решение для аффинной системы уравнений Тоды (2.13). Таким образом, для некоторой точки Р = (z+}z~) внутри светового конуса и двух точек на ветвях 1 мы имеем выражение для гейзенбергового оператора. Легко вычислить групповые элементы в (4.45). Поскольку правая часть выражения не зависит от , то, без потери общности, можно положить ~z+ = И~ = 0. Из (4.41) следует, что g~l(Q,z~) = g 1(0,0) Техр j £ dz . (4.46) (0,0) Далее, на основе (4.43) получаем d+ (: eph :g)=-a (: eph : g) (ж+ + \x )g. (4.47) Из коммутационных соотношений алгебры siz следует тождество ephx± = х± е±2р ерк. (4.48) Однако, экспоненты от оператора р в (4.48), не являюця нормально упорядоченными и не имеют конечного действия в фоковском пространстве Т(1Т). Заменим операторы полей в (4.48) регуляризованными выражениями, определенными в (4.11), а в конечном результате возьмем pi -У со, i = 1,2. используя коммутационное соотношение (4.9), получаем следующие тождества: e±Ph =. e±Ph . е|й/з2дге9(о)п еРФ =. еРФ . еЙ/32Дге9(0) Далее имеем : eph : ж+ и-1х+и{: е2р :) (: ерН :) е^2дге9(°), А : ep/l : Аж = и^Аж.и (: е~2р :) (: е'л :) е^2Д 9№ где и = е2 Следовательно, где д+ (и : eph :g) = B+- (и: eph : g) -а (ж+ : е2р : +Аж : е 2р :) Уравнение (4.53) может быть легко проинтегрировано: 2р \ Нр2Агея(0) ( (*+,0) \ и : eph : flf(+,0) = В результате, мы можем переписать (4.45) как Техр J В+ dz\ (о,о) ] и: eph : (/(0,0). : е -р(+, ) . < Ai G : е- (°г )л : Ai > <А0С|Ао> где ( (*+,о) \ Техр J В+ dz\ (о,о) . Pp(o,o)h . sU- : е (0,z-) Техр J oL б?г;1 (o,o) (4.49) (4.50) (4.51) (4.52) (4.53) (4.54) (4.55) (4.56) (4.57) Отметим, что выражение (4.56) формально совпадает (если не учитывать нормального упорядочения) с выражением для общих решений классических аффинных систем уравнений Тоды, полученных в соответствие с методом Лезнова-Савельева [1,16]. 5 Подход Янга-Фельдмана Процедура Янга-Фельдмана - пертурбативный метод вычисления операторов полей квантовой теории в разложении по свободным полям [1,71]. В данном разделе вспомним, следуя [44,45], результаты вычислений порядков разложения гейзенберговых операторов, удовлетворяющих квантовым конформным и аффинным системам уравнений Тоды по операторам полей в отсутствии взаимодействия. Мы начнем с квантовых конформных систем уравнений Тоды. Пусть <ра, а = 1, ...,г, - операторы поля, удовлетворяющие квантовым аналогам уравнений конформной системы Тоды, эквивалентным по форме уравнениям (2.3). При этом асимптотические поля г°±а, а = 1,...,г, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (5.1) (здесь с - стандартная знаковая функция). Далее, пусть г /3=1 (5.2) Г 13=1 где ка[з - элемент матрицы Картана соответствующей алгебры Ли g, a wa - симметриза-тор (диагональная матрица), удовлетворяющая соотношению wakap = wpkpa, (5.3) о, fi = 1,...,г. Тогда, соответственно, кар = kcpWp1. В формализме Янга-Фельдмана [1, 44], га-й порядок оператора экспоненты гейзенбергова поля дается выражением \е )(п) + 00 dzx...dznQ(t - ti)...6>(tn i - tn): (5.5) -,Vu,...,Kn где 9(z - z) - 6(z+ - J+) 9(z~ - J~) - обычная ступенчатая функция, a a = l В (5.5) использовано обозначение [А,В,...,С]=[[...,[А,В],...],С]. Выражение (5.5) может быть переписано в виде \е )(п) + 00 dz1...dzn6(z - z1)...6(zn 1 - zn): (гНУ (5.6) (5.7) (5.8) х ]Г [e-*>°,Vlkl,...,Vnkn Р(ки...,к„) где Р(к\, ...}кп) обозначает перестановку индексов (£4, ...,кп). Оператор экспоненты поля в первых трех порядках процедуры Янга-Фельдмана (5.8) имеет вид (е )(о) (e )(i) - р. ,о 2wn -ч>. ih о 2wr, 1-е 2Ша I ф+фа, 1-е 2 \ - g 2 Кат а7 а7 где а = 1,..., г, и Ф (z±)= I dzfeM) I dz±e<&\.. I dziem). 0 f ±4 (5.9) (5.10) Таким образом, dz±e(zt\ (5.11) (5.12) Отметим, что в случае квантовых конформных систем уравнений Тоды, ряд (5.8) - конечный, т.е. обрывается после некоторого порядка. Как будет пояснено позднее (см. раздел 6), это свойство указывает (как и в классике) на некоторую внутреннюю алгебраическую структуру квантовых конформных систем уравнений Тоды. Выражение для п-го порядка разложения решения (5.8) можно найти в [44]. Процедура Янга-Фельдмана применима также и к аффинным системам уравнений Тоды. При этом удобно использовать петлевую реализацию аффинной алгебры д. Как и в случае конформных систем, гейзенберговы операторы поля <ра удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (5.1) и квантовым уравнениям, по форме совпадающим с (2.12). Классические поля в (2.12) формально заменены на гейзенберговы операторы. Однако, вместо оператора возмущения (5.6), нужно использовать другой оператор. Например, в частном случае систем уравнений аффинной Тоды - модели sin-Гордон, имеем VtJ = V{zf,zj) = 2w (здесь w - константа), что дает о 2w 1-е 2 ] Ф+Ф+ 1 - 62 ) Ф+Ф где мы вводим Ф1(г~) = J dz7e°\ (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) а ф° определено в выражении (5.2). Тогда п-й порядок оператора экспоненты поля дается выражением (5.5) с оператором взаимодействия (5.13). Заметим, что в случае аффинных систем, мы получаем бесконечные ряды разложения гейзенберговых операторов. Однако, как и в случае конформных систем Тоды, можно отыскать общую формулу для экспоненты гейзенбергова оператора в любом порядке. 6 Квантово-групповые решения систем Тоды 6.1 Построение квантовых решений с использованием генераторов квантовых групп Первоначально, связь между квантованием систем уравнений конформной Тоды и квантовыми группами была подмечена в работе [45]. Действительно, рассмотрим тодовские поля <£>г-, г = 1,г, как гейзенберговы операторы, удовлетворяющие некоторому квантовому аналогу конформной системы уравнений Тоды в форме (2.3), в которой классические поля заменены на операторы полей. Применим, следуя работе [44] (см. также [1]), пертурбативную процедуру Янга-Фельдмана (см. предыдущий раздел). Мы приходим к точным явным выражениям для экспонент гейзенберговых операторов tpi в виде конечных рядов по операторам свободных полей (/7°, удовлеторяющих каноническим коммутационным соотношениям. В этом подразделе мы покажем, что формальные выражения, построенные на основе классических решений подхода Лезнова-Савельева, но содержащие генераторы квантовых групп, совпадают с пертурбативными решениями систем уравнений Тоды, полученными в рамках процедуры Янга-Фельдмана. Возьмем общее решение (2.4) уравнений конформной системы Тоды (2.3) и формально заменим групповые элементы в правой части некоторыми элементами квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры Ли д, на основе которой построена система уравнений (2.3). Заменим также старшие векторы Аг- > фундаментального представления старшего веса старшими векторами фундаментального представления А? >q квантованной универсальной обертывающей Uq(g) алгебры д, а отображения к± в (2.5) - квантовыми отображениями дк± : Ai -У Uq(g) г 8 = 1 Ф°,. = е& ±\ (6.2) где x±i, i = l,...,r, - генераторы Шевалле Uq(g). Вместо коммутационных соотношений (2.1) генераторы квантованной универсальной обертывающей удовлетворяют деформированным коммутационным соотношениям, например, в форме Джимбо-Дринфельда [52,54]: [Ы,] = о, (б.з) [hi,x±j] = ±к1гх±1, (6.4) hi -hi [xi,Xj] = 8ij--Ьт , (6.5) Чг ~ Чг где qi = ed,h, Н - константа Планка и б?г- - сопряженные простые целые такие, что d к - симметрическая матрица. Тогда мы получаем следующее формальное выражение в форме решений Лезнова-Савельева [45] е = , < А?I М-1 qM А?> (6.6) Е hiV°±i где qM± = е 8=1 g/u± - элементы квантовой группы Uq(g), a г = 1,...,г, - кар-тановские элементы 7g(g). Групповые элементы g/u± удовлетворяют условию 9± g/i± = g/i± qK±. (6.7) При этом, как и в классическом случае, в силу свойств фундаментальных представлений старших весов Uq(g), число членов в рядах разложения решения (6.6) конечно и точно равно размерности г-ro фундаментального представления Uq(g). Легко найти, например, первые три порядка разложения (6.6): е-<% = ,<А?е -1 3,\\]>q=e-, (6.8 ()(1) = -Еффр IA? > p=i о 2wj 1 - е (6.9) Е q < \Чг\х + в Х+т Ж р Ж д А? >а Ф^Ф б о е v+ у е 4 -- 5/1 0=1 2wi ( ih \ 2we , (ih 4WJ lhshV-J-ke))e (6.10) Здесь /Z~ PZ~ dzT j dz~e(z- - z7)ee... = е ф- , (6.11) г = l,...,r, a kpq, Wi были определены в (5.3) и (5.4). Операторы Ф^, Ф^- - те же, что ив (5.11), (5.12). Выражение для п-го порядка разложения (6.6) можно найти в [45]. Легко видеть, что первые три порядка (6.8) - (6.10) совпадают с (5.9). Это же верно и для любого порядка. Таким образом, как было показано в [45], пертурба-тивные выражения, найденные в подходе Янга-Фельдмана для квантовых конформных систем уравнений Тоды, совпадают с квантово-групповыми выражениями, содержащими генераторы квантованной универсальной обертывающей алгебры Uq(g) вместо элементов обычной группы. По аналогии со случаем конформных систем уравнений Тоды, можно построить квантово-групповые решения в духе работы [45] для аффинных систем уравнений Тоды. В формуле общего решения (2.13) для классических систем уравнений аффинной 1 2 3 4 |
|