Сферически-симметричный теплоперенос в мантии

Степанов А.А. (stepsoft@yandex.ru), Старченко С.В.

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П.А. Соловьева

Введение

Главные тепловые источники в мантии Земли - это запас тепла, оставшегося еще со времен раннего расплавленного состояния, и тепло, образующееся при распаде радиоактивных элементов. Усредненное содержание радиоактивных элементов в земной коре не превышает тысячных долей грамма на килограмм породы, однако генерируемый ими тепловой поток оказывает существенное влияние на тепловые свойства Земли в целом [1, 2]. Если бы внутри Земли радиоактивные вещества содержались бы в тех же пропорциях, что и в поверхностных горных породах, то температура в недрах стала бы не падать, а расти, и мантия была бы полностью жидкой, что противоречит современным представлением. Поэтому, следуя [8, 9] считаем, что радиоактивных изотопов пренебрежимо мало в верхней и в нижней мантии. Используемое нами из [1] содержание радиоактивных изотопов в коре: калий 40К - 235 ppm, торий 232Th - 76.4 ppb, изотоп урана

235 238

U - 0.14 ppb, изотоп урана U - 20.1 ppb. Удельная теплотворная способность изотопов и постоянная распада: 3.47-10-3 мВт/кг и 5.54-10-10 1/год для 40К, 26.4 мВт/кг и 4.95-10-11 1/год для 232Th, 4.04 мВт/кг и 9.85-10-10 1/год для 235U и 94.0 мВт/кг и 1.55110-10 1/год для 238U.

О тепловом запасе недр Земли можно судить по распределению температур. Наиболее надежными считаются определения температур основанные на температурах плавления глубинных недр. Современная техника еще не в состоянии прямо смоделировать соответствующие условия, экстраполируя результаты экспериментов, выполненных с использованием ударных волн. Поэтому расхождение моделей распределения поля температур находится в пределах одной - двух тысяч градусов [5, 6, 7]. Среди этих моделей наибольшую температуру плавления 8240 K в центре Земли дает Вильямсон и др. [5], а Бухлер [7] дает наименьшую температуру - 5150 K. Расчетные значения температур плавления берутся несколько ниже в связи с присутствием легкого компонента, причем отклонение может составлять от 500 до 1000 K [2]. Вместе с тем существуют и достаточно уверенно определяемые необходимые нам средние современные значения теплофизических величин представленные в таблице 1 и в таблицах 2-3 далее.

Таблица 1 - Уверенно определяемые теплофизические константы Земли

Существенное влияние на тепловое состояние Земли оказывает тепловой поток Q (см. табл.1) с ее поверхности, который определяется достаточно уверенно [2]. Не менее

важная величина теплового потока из ядра в мантию во многом определяется конвективными процессами, происходящими в ядре, интенсивность которых в свою очередь влияет на величину генерируемого в нем магнитного поля. Различия в оценке этого теплового потока из ядра Земли лежат в пределах от 3 до 20 ТВт (1 ТВт = 1012 Вт), как отмечалось еще в [4]. И до сих пор эта определяющая генерацию Главного геомагнитного поля величина остается также плохо определенной [10, 11, 12, 13].

В работах [2, 16] уже строились самосогласованные модели теплового состояния сферически симметричной Земли, опирающиеся на модели температур плавления и зависимости между безразмерными термодинамическими и теплофизическими параметрами. Недостатком подобных работ является использование параметров мало связанных с условиями в глубинных недрах Земли. В других работах [17, 18] моделируется прямая задача эффективного теплопереноса, причем авторы задают как распределение радиоактивных источников, так и величины эффективной теплопроводности. В настоящее время этот подход получил свое развитие в работах посвященных численному моделированию тепловой конвекции в мантии Земли [19, 20, 21, 22, 23, 24]. Однако в подобных работах сферически симметричный теплоперенос в мантии фактически задается изначально через фиксированные источники тепла, температуры и/или тепловые потоки у границ мантии.

Цель этой работы - определение полностью самосогласованной долговременной (на временах до нескольких сотен миллионов лет) модели сферически симметричного теплопереноса в мантии, развивая идеи работы [15]. Предполагаемый результат

моделирования - физически ясная зависимость теплопереноса от малого числа таких параметров, которые могут оцениваться и уточняться независимо. Основой модели являются значения температур фазового перехода между оболочками Земли и величина теплового потока с ее поверхности. В результате достоверно оценивается связь между интенсивностью конвективных процессов теплопереноса в мантии, величиной теплового потока из ядра и средним содержанием радиоактивных источников тепла в коре Земли.

1. Приближенное решение уравнений теплопереноса

В самом простом случае, используя эффективную теплопроводность [25], Землю можно представить в виде сферических слоев, обладающих постоянными теплофизическими свойствами. Тогда задача об охлаждении Земли сводится к решению уравнения теплопроводности для сферического слоя с постоянными значениями удельной массовой теплоемкости cp, теплопроводности к и средним для слоя значением плотности

р

дт cpp

где a = к/cpp - температуропроводность; Т - температура; qv(r, т) - функция

объемной мощности внутренних источников тепла, r - радиальная координата, т -время.

В качестве граничных условий на внешней границе слоя Ro, исходя из достаточно

достоверно известных данных, зададим изменяющиеся во времени величины температуры и теплового потока. Т.о. граничные условия будут иметь вид

t(ro,t)-(t), рдг1-#

Условие ( 3) соответствует заданию теплового потока

Q(R.)=-4П;( r =¥(т).

Начальные условия, когда т = 0 :

Т (r,0) = f (r ). (4)

Для получения аналитического решения задачи представим все функции (температура и тепловой источник) в уравнении (1) в виде разложения в ряд Тейлора по времени:

Т(г,т) = Т0 (r) + 71 (r )т + Т2 (r )-т2 +... + Тп (r )-т +(5)

qv (Г ,T) = 4V0 (r )+ qv1 {Г ) - T + 4V2 (r ) - T + ... + 4vn (r )-т + ....

Ограничимся рассмотрением только нулевого и первого членов ряда (5)

Т(r,T) = T0 (г) + T1 (г) - т ; q (r, т) = q0 (г) + (г) - т . (6)

Это приближение, для времен порядка 100 млн. лет привносит в решение погрешность порядка нескольких процентов, т.к. характерное время теплопереноса порядка 10 млрд. лет [4]. Такая погрешность вполне допустима, так как теплофизические характеристики пород, слагающих недра Земли известны с большей погрешностью.

Также допустим, что распределение радиоактивных элементов не изменяется со временем, а изменяется только мощность тепловыделения, представляя

qv (г,т) = q(r)(q0 q1T), (7)

где q(r) - относительная плотность распределения внутренних источников. Подставив (6) и (7) в уравнение (1), получим следующее соотношение cpT (г) = kV% (г) + kV271 (г)- т + q(r)(qQ - qj). Приравнивая члены при одинаковых степенях т, перепишем (8) в виде системы

[kV (г ) = cpp(r )Т (г )- q0q(r ); [kV Т (г ) = ад(г ). Граничные условия в этом случае будут иметь вид

Т0 (Ro )=0;

X (г ))

¥0

V; Т (Ro У-

Я>1

дТ (г) 1 дг

J г=Ro

¥1

4nR2

(10)

Система (9) с граничными условиями (10) допускает аналитическое решение

Т (г )

Q1 (г ) = 4x)?qvpv (№ + ¥1,

J ri

+ V1

к

VRor Ro 4П

1 - 1

(11)

+ <P1, (12)

Q0 (r) = 4n j{2 (qv1Pv (£) - cp + ¥0,

(13)

Т0 (r ) =

)Г Q0 (ridh

J r)

V Ro

f)\)e (qvpv (£)-(ф@г

к

V Ro1 Ro

¥0

J - 1

+ V0

(14)

Поставляя в (11), (12), (13) и (14) функцию распределения источников тепла и эффективные коэффициенты теплопереноса можно прямо получить искомые распределения температуры и теплового потока. Однако если вполне допустимо считать, что радиоактивные источники расположены исключительно в верхних слоях земной коры [1], то о значениях эффективной теплопроводности можно сделать лишь очень грубые оценки, что в данном случае неприемлемо. Преодолеть подобные затруднения позволяет тот факт, что нам с достаточной точностью известны температуры фазовых переходов на границах раздела слоев, составляющих оболочки Земли. Учет этих избыточных данных позволяет поставить обратную задачу теплопроводности, в которой неизвестными величинами будут значения эффективной теплопроводности в каждом из слоев.

2. Общая методика определения теплопереноса в мантии

Для нахождения распределение теплового потока в мантии разделим ее на N -1 сферический слой с различными фазовыми состояниями, см. рисунок 1.

Рисунок 1 - Разделение на сферические слои Законы сохранения требуют непрерывности температуры и теплового потока, т. е. для членов разложения в ряд (6) на границе между двумя соседними слоями п -1 и п :

Q1 )(R(n ))= Q1(n-1)(Rrn)), T1{n)(R(n ))= 71(n-1)Rrn)), Q0n )(r( ))= Q0n-1)(Rrn)),

j(n)R(n))= ) T(n)(Rn+1))= 7 (n+1) (15)

Здесь 7n) - n -е значение температуры фазового перехода, R ) - n -й радиус разделения на сферические оболочки.

На внешней границе для самого верхнего слоя задаем значение общего теплового потока и пренебрегаем изменением во времени температуры (резкий фазовый переход между оболочками твердая земная кора - газообразная атмосфера)

Ql (R )= Qtotal, Т/ (R )=0. (16)

Аналогичным образом для самого нижнего слоя:

Т?-1 (RN)= 0 , Т^-1 (RN)= Тгы . (17)

Окончательно получим трансцендентную систему из 5N уравнений, составленных из (15), (16) и (17) в соответствии с (11), (12), (13) и (14). Неизвестны тут постоянные интегрирования (pn, (pn, ¥0n, ¥1n, эффективные теплопроводности кп для n>1 и среднее значение функции распределения радиоактивных источников тепла pv (г) = pi = const.

3. Тепловая модель Земли

Следуя [2, 16] область от границы ядро-мантия до поверхности разделим на четыре сферических слоя, см. рисунок 2. Для определения средних значений плотности слоев использовалась модель строения Земли PREM [27]. Температуры фазовых переходов взяты из [9, 26], а тепловой поток с поверхности Земли - Q3eMm = 44ТВт из [2]. В таблице

2 представлено такое разделение на слои. Таблица 3 содержит средние по слою значения теплофизических величин, искомые величины обозначены иск. Постоянные радиоактивные значения из (7) в соответствии с [1] равны q0 = 4.7223759 и

q1 =-2.680118 -10~26.

4000 T,C

1900 1600 1200

6371

R, км 5971 6271 Рисунок 2 - Слоистая модель Земли Таблица 2 - Значения температур фазовых переходов на границах слоев

Таблица 3 - Теплофизические свойства слоев

Для решения совокупности систем нелинейных уравнений (15), (16) и (17) была разработана программа, которая выдала физически значимые для Земли результаты представленные на рисунках 3, 4 и таблице 4, нефизические решения отбрасывались.

Qcmb ,ТВт

35 30 25 20 15 10

к1 = 6Вт / м°С

к1 = 5.5Вт / м°С

----к1 = 5Вт / м°С

1160 1170 1180 1190 1200 1210 1220 1230 1240 T

Рисунок 3 - Зависимость Qcmb от теплопроводности внешнего слоя, температур первого фазового перехода и температуры у границы ядро-мантия (разные цвета)

5.0e-2 4.0e-2 3.0e-2 2.0e-2 1.0e-2

0.0e-2

1160 1170 1180 1190 1200 1210 1220 1230 1240 T

Рисунок 4 - Зависимость среднего содержания радиоактивных веществ в коре от температуры первого фазового перехода и теплопроводности во внешнем слое Из рисунка 3 видно, что наиболее сильное влияние на величину теплового потока

из ядра в мантию оказывает величина усредненной эффективной теплопроводности в

верхнем поверхностном слое. Меньшее влияние оказывает температура первого фазового

перехода, тепловой поток из ядра и температура на границе раздела ядро-мантия.

Содержание радиоактивных источников (см. рисунок 4) в поверхностном слое ни как не связано с изменением температуры на границе ядро-мантия, но зависит от температуры первого фазового перехода на глубине 100 км.

Об эффективности конвекции в верхней и нижней части мантии можно судить по данным из таблицы 1 и величинам соответствующих эффективных коэффициентов теплопереноса к2 4, которые представлены в таблице 4.

Таблица 4 - Коэффициенты теплопереноса к, относительная концентрация радиоактивности qv1 и тепловой поток Qcmb из ядра при фиксированной температуре

Заключение

В ходе работы построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные. Показана зависимость теплового состояния мантии от возможных вариаций температуры на границе ядро-мантия, теплопроводности во внешнем слое и температуры фазового перехода на глубине

100 км.

Пользуясь результатами этой работы, легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых температур фазовых переходов, концентраций радиоактивных источников и теплопроводности самой верхней твердой части мантии (фактически коры, океанов и материков).

Разработанный оригинальный метод построения тепловой модели планеты является независимым от других методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.

первого фазового перехода Т(г2) = 1200°C и различных температурах границы ядро-мантия T(r5>.

Работа поддержана грантом INTAS-03-51-5807. Литература

1. Van Schmus W.R. Natural radioactivity of the crust and mantle. Global Earth Physics. A Handbook of Physical Constants. AGU Reference Shelf 1. Am. Geophys., 1995, p.p. 283-291.

2. Takesi Yukutake. The inner core and the surface heat flow as clues to estimating the initial temperature of the Earths core. Physics of Earth and Planetary Interiors, 121, 2000, p.p. 103 - 137.

3. Болт Б. В глубинах Земли. О чем рассказывают землетрясения. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984, - 189с., ил.

4. Ф. Стэйси. Физика Земли. Пер. с англ. - М.: Мир, 1972, - 344 с.

5. Q. Williams, E. Knittle, R. Jeanloz. The high-pressure melting curve of iron: a technical discussion. J. Geophys. Res., 96 (1991), pp. 2171 - 2184.

6. O.L. Anderson, A. Duba. Experimental melting curve of iron revisited. J. Geophys. Res. 102 (1997), 22659 - 22669.

7. R. Bouhler. Temperature in the Earths core from melting point Measurements of iron at high static pressures. Nature 363 (1993), 534 - 536.

8. Stacey F.D. Physics of the Earth. Brookfield Press, Queensland, Australia, 1992, 513p.

9. Жарков В.Н., Трубицин В.П. Физика планетных недр. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980, - 448с.

10. Roberts P.H., Jones C.A., Calderwood A.R. Energy fluxes and ohmic dissipation in the Earths core.

11. Loper D.E. The nature and consequences of thermal interaction twixt core and mantle. J. Geomagn. Geoelectr. 43 (1991), P. 79 - 91.

12. Roberts P.H., Gladzmaier G.A.. Geodynamo theory and simulations. Review of Modern Physics, Vol. 72, No. 4, 2000, pp. 1081 - 1123.

13. G.A. Gladzmaier, P.H. Roberts. Simulating the geodynamo. Contemporary Physics, 1997, volume 38, number 4, pages 269 - 288.

14. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. M.: Наука, 1978.

15. Старченко С.В., Степанов А.А. Источники и потоки тепла в мантии Земли ДАН, 2002, Т. 384, № 3, С. 391 - 394.

16. Stevenson D.J., Spohn T., Schubert G. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial planets ICARUS 54, 1983, P. 466 - 489.