учитывая, что при Р << 1 величину S можно написать как

S = Р S/2, а модуль k<< 1, воспользуемся при малых k асимптотическим разложением эллиптических интегралов, входящих в выражение для производной. После этого, подставляя производную в формулу (22) и учитывая (19), для частоты окончательно получим

С (РАв) - Cp (1 - 136Р2 S + 155 в S), (23)

16 16

где Cp = Cp0 (1 + в) - частота линейных колебаний плазмы, в которой принимают участие как электроны, так и ионы [2]. Итак, учет движения ионов дал прирост частоты за счет положительной малой добавки (третий член в скобках формулы (23) ), пропорциональной амплитуде волн. Хотя величина частоты нерелятивистских

волн практически не отличается от Cp0, тем не менее, зависимость (23) интересна тем, что она позволяет понять влияние нелинейности и динамики ионов на частоту волн. В самом деле, как мы видим, учет нелинейности (второй член в скобках формулы (23) ) приводит к уменьшению частоты, а учет динамики ионов (третий член), наоборот, приводит к увеличению частоты нерелятивистских волн. Интересно

отметить, что при скорости нерелятивистских волн Р = V5rJ, влияние на частоту нелинейности уравновешивается влиянием динамики ионов и частота нелинейных волн равна частоте линейных колебаний плазмы Cp.

Если зафиксировать параметр Р т.е. положить Р = Const, тогда из формулы

(23) следует, что при скоростях нерелятивистских волн Р < *J5>6 частота больше,

чем Cp и нарастает с увеличением амплитуды волн, а при Р > у[5в частота меньше,

чем Cp, и убывает с ростом амплитуды S. Для фиксированного значения амплитуды волны (S = Const) рассмотрим самую интересную на наш взгляд ситуацию, когда амплитуда волн равна предельно возможной: S = 1. В этом случае из (23) получим,

что при Р = 0 частота больше, чем Cp, и равна для нерелятивистских волн своему

максимальному значению С - Cp (1+ в) = Cp0 (1 + в)32, затем при возрастании

скорости волн частота падает, далее, при скорости Р =л[5в , она становится равной

Cp = Cp0 (1 + в) и в дальнейшем частота уменьшается. В заключение отметим, что из (23) при Р = 0 следует результат, приведенный в работе [15].

3.2.2. Вычисление С (S,y,pL) для релятивистских волн при р >> 1.

Прежде, чем перейти к релятивистскому случаю, убедимся в том, что волны,

для которых выполняется условие Рр < 1, имеют значение частоты, близкое к

величине Cp0 , как это было в приближении бесконечно тяжелых ионов (п. 3.1.). Действительно, в этом случае в интеграле (11) пределы интегрирования определяются формулами (14). Нетрудно видеть, что на отрезке интегрирования, слагаемые в подкоренном выражении в соотношении (9), содержащие параметр л,

много меньше единицы, поэтому функцию V(.у, /л) можно заменить на Vo (.у). Таким образом, здесь применимо приближение неподвижных ионов, и все выводы,

приведенные в п.3.1. для случая Рр < 1, остаются в силе.

Итак, для релятивистских волн будем считать, что вр = вУ& >> 1, что

равносильно неравенствам р >> 1, у>> 1, так как в ~ 1, S< 1. В этом случае в

интеграле (11), на отрезке интегрирования 0 < у< Ц/+ , полагая *\](/ + Ц )2 - 1 ~ у+ Ц функцию У(щу, JU) представим в виде

У(щу ju) ~ вИУ - У(1 -в) - У ~л1 (иу-¥)2- И . (24)

На отрезке 0 > Ц/ > Ц/ , учитывая, что I Ц/ \ < у - 1, функцию У(щу,/и) во всех случаях с достаточной точностью можно заменить функцией

Voo (У,У ), которая представлена формулой (16). Таким образом, интеграл (11) в данном случае является суммой двух интегралов:

J(S,y, ju) = J + J2,

где

J1 = J , d¥ , J2 = J .

В интеграле J2 функция У(Ц/,у, JU) определяется формулой (24).

Вычисление интеграла J1 производится аналогично вычислению Jo . В итоге J1 выражается через эллиптические интегралы второго рода:

2в {a [E(k) - E(q,k)] - E(p,k)/(ab2)}.

1 -в

Здесь

q= arc Sin

a - s . a

2 2 , p= arc Sin - v a2 - b2 s\

S 2 - b 2

s b s 2= y(1 + в),

a - b

а параметры a, b, к определены выше (п.3.1). Окончательная оценка интеграла J1 приводит к ответу: J1 ~ у /[В (напомним, что у нас у >> 1, р = yS >> 1, т.е. S

>> 1/у).

Приступим к вычислению интеграла J2. Функцию У(щу ju), выражаемую соотношением (24), представим таким образом:

У(УУМ) М[вУ - Ц/И - V(y-y/ u)2 -1 ]. Введем обозначение y = Ц И. После замены переменных

У- t = y + V(y-y)2 -1 интеграл J2 выразится через табличные интегралы:

.U r t 2 dt hr dt

где

g = Y(1 -в)=1/[у(1 + в)] - 1/(2y), h = g + S/p. Итак, вычисление интеграла J приводит к ответу:

p + 2р 2pp 2py 22р(р + 2р) + р/(2р) -1

Легко видеть, что в рассматриваем нами приближении р >> 1, p >> 1, второе и третье слагаемые в квадратных скобках этого выражения много меньше единицы.

Опуская эти слагаемые, и подставляя полученное значение интеграла J(S,Y,p) в (10), получим формулу для частоты

CO(£,YMyo)p0Ti(jJl + 2р)/{pV2 U ln V1 + p/(2p) +1 ]}. (25)

2J2p(p + 2p) V1 + j/(2p) -1 Рассмотрим значения частоты в зависимости от различных соотношений между

параметрами р и j. При 1 << р << ji второе слагаемое в квадратных скобках выражения (25) равно единице и, как и следует ожидать, (25) трансформируется в

формулу (20). В случае р > ji >> 1 второе слагаемое можно опустить, так как оно мало по сравнению с единицей, и для частоты получим формулу

со (b,Y,ji) ~ евро п ,- = евро п г-- , (26)

jij 2р p 2yS

из которой следует важный результат, выражающийся в том, что в данном случае

частота зависит от всех трех параметров задачи: £,Y>P, причем существенна зависимость от всех параметров, в том числе - и от p. Итак, мы получили, что при 1 << р << j частота волн выражается формулой (20):

Cd(£,Y)~G)p0 п / (2

полученной в приближении бесконечно тяжелых ионов, при этом она меньше с p0, не зависит от j и уменьшается с ростом р. При р >> j из (26) получим

co(SyY) - Cp0пд/2)6 /p,

т. е. частота существенным образом зависит от j и, наоборот, растет с увеличением р. При стремлении скорости волн конечной амплитуды к скорости света, что равносильно пределу р - оо, величина частоты стремится к бесконечности, что полностью противоположно поведению частоты, полученному в приближении неподвижных ионов, где частота при в - 1 уменьшается до нуля.

В итоге мы получили, что для нерелятивистских, а также для релятивистских волн при р = )6< в - 1, частота волн близка к Cp0. При

р >> 1 и любых соотношениях между p и р с точностью 50% для частоты волн можно использовать формулу (26), которая правильно отражает функциональную

зависимость частоты от параметров S,Y,p, т.е. дает уменьшение частоты с ростом р при р << j и приводит к нарастанию частоты с увеличением р при р >> j .

Для фиксированного значения p зависимость СО от параметра р,

выражаемая соотношением (26), означает, что при некотором значении р частота имеет минимальное значение C0min. Из условия dco /Яр = 0 из (26) найдем, что COmin ~ 27lCOp0 /при ртп ~ ju/2. Обратим внимание на то, что отношение Cmin /Cp0

зависит только от ju . Очевидно, что при некотором р = р0 >> ju величина CO

снова, как и для линейных волн, равна плазменной частоте Cp. Значение р0, при

котором C = Cp, найдем с помощью (26): р0 ~ ju 2/(2п2). Таким образом, для фиксированной амплитуды электрического поля волны, при изменении скорости волны от нуля до скорости света, частота вначале уменьшается по величине до некоторого минимального значения, затем монотонно и неограниченно растет, при

этом, дважды принимая значение C = Cp: первый раз - на фазе спада, второй раз -при нарастании от минимального значения до бесконечности.

В заключение этого раздела отметим, что в природе (например, в окрестности пульсаров) встречается состояние плазмы, в которой ju = 1. Это так называемая электрон-позитронная плазма. Как показано в работах [10-11], частота нелинейных плазменных волн в электрон-позитронной плазме всегда больше

частоты линейных колебаний C p0.

4. Основные выводы

В результате проведенных исследований в настоящей работе мы вывели аналитические выражения для частоты нелинейных плазменных волн. Основной вывод, который следует из полученных формул и который необходимо отметить прежде всего, - это то, что при исследовании нелинейных плазменных волн учет движения ионов принципиален. Если учесть еще результаты работ [10-11], то мы

видим, что зависимость частоты от амплитуды (S ) и фазовой скорости (у ) волн, а также от параметров плазмы (ju ) полностью противоположна для двух крайних случаев: 1) бесконечно тяжелые и неподвижные ионы (ju - o ) - частота всегда

ниже частоты линейных волн Cp0 и с увеличением р = у& монотонно уменьшается,

2) массы ионов и электронов равны (j = 1), следовательно, движение ионов (в данном случае - позитронов) происходит наравне с электронами, - частота всегда выше частоты линейных колебаний и с увеличением р монотонно растет. Для

промежуточного случая, когда j >> 1, зависимость частоты от параметров волн, как следует из проведенных нами исследований, достаточно сложна и выражается формулами (23), (25-26).

Другой очень важный вывод - это то, что частота в общем случае зависит

существенным образом от всех трех параметров задачи: у, S и j , причем при

заданном значении jl величина частоты контролируется произведением р = у&, т. е. в одинаковой степени зависит как от скорости, так и от амплитуды волн.

Отметим еще интересные факты: 1) нелинейные плазменные волны, движущиеся с малыми скоростями, т. е. нерелятивистские волны

(в << 1), а также релятивистские волны с малой амплитудой, для которых

выполняется условие р=)& - в - 1, имеют частоту колебаний близкую к частоте линейных колебаний в плазме; 2) для самой распространенной в природе электрон-протонной плазмы, частота волн СО, как это следует из формул (25-26), отличается

от плазменной электронной Op0 менее чем на порядок величины (максимум в 7 раз) в достаточно большом диапазоне изменения параметра р : 1 < р < 105 и только за пределами указанного интервала, при р > 105, частота неограниченно начинает расти как р1/2.

Литература

1. Л. А. Арцимович, Р.З. Сагдеев, Физика плазмы для физиков. Атомиз-дат, Москва (1979).

2. Электродинамика плазмы, Под ред. А.И. Ахиезера. Наука, Москва

(1974).

3. А.И. Ахиезер, Г.Я.Любарский, ДАН, Т.80,№2, С.193 (1955).

4. А.И. Ахиезер, Р.В.Половин, ДАН, Т.102, №5, С.919 (1955).

5. А.И. Ахиезер, Р.В.Половин, ЖЭТФ, Т. 30, С. 915 (1956).

6. A. Cavalier, Nuovo Cimento, V.23, P.440 (1962).

7. W .Lunow, Plasma Physics, V.10, P.879 (1968).

8. C. Max, Phys. Fluids, V.16, P.1277 (1973).

9. В.А. Козлов, А.Г.Литвак, Е.В.Суворов, ЖЭТФ, Т.76, С.148 (1979).

10. A.G. Khachatryan, Phys. Rev., V.58, P.7799 (1998).

11. Г.Н. Кичигин, ДАН, Т.385, № 4,С.474 (2002).

12. Г.Н. Кичигин, Физика плазмы, Т.29, № 2, С.172 (2003).

13. L.M. Gorbunov, P.Mora, R.R.Ramazashvili et al,

Physics of Plasmas, V.7, P.375 (2000).

14. L.M. Gorbunov, P.Mora, A.A.Solodov, Phys. Rev.

Letters, V.86, P.3332 (2001).

15. H. Wilhelmsson, Phys. Fluids, V.4, №1, P.335 (1961).