Структурирование требований к показателям функционирования производственно-технологических

Горбунов А.А. (gorbun@sp.ru), Смирнов Ю.М. Холдинговая компания Ленинец

При системном синтезе производственно-технологических систем (ПТС) особое значение приобретает проблема структурирования распределение требований к их показателям функционирования /1/. Целью такого структурирования является выбор характеристик оборудования и технологических режимов ПТС из условия минимизации себестоимости при заданном значении показателя функционирования Ф.

При заданном значении показателя ф = фзад характеристики элементов ПТС необходимо выбирать из условия минимизации некоторой функции F(xi,Х2,...,xn), например, себестоимость продукции или уровень брака. Математической формулировкой является:

ГF(x) - mm \Ф( x) = p

где x - набор характеристик производственного оборудования и параметров технологических сред x = (xi,Х2,...,xn), Ф - показатель

функционирования, F - функция себестоимости продукции.

Из-за отсутствия априорных данных о Ф( x) на стадии разработки аналитическое решение этой задачи невозможно; его сводят к двум процессам:

к поиску начального приближения x0 из условия

x (2)

Ф( x0) = p

F (xk +sk) -- min

где ф - упрощенное аналитическое выражение для показателя Ф. к уточнению начального приближения по схеме

xr+1 = xk +sk, k = 0,1,2,...

) - min

где \ n - (3)

t% (Xk )6ks = p - Ф( Xk ), 5 (X) = ддФ Is=1 dXs

При этом Ф( xk) определяется методами имитационного моделирования

или исследования реальной производственно-технологической системы /2/. В конце итерационной процедуры определяется предельное решение x *.

Из физических соображений ясно, что решение задачи (1) единственное, однако, в общем случае, предельное решение x * последовательных

приближений может не совпадать с оптимальным решением x . С целью оценки расхождений между предельным и оптимальным значениями х рассмотрим более подробно вид функции стоимости F .

Эмпирическим путем установлена справедливость гипотезы

- f - f0

x = xcc + - xx)e a , где x - характеристика элемента ПТС, F -стоимость, а - весовой коэффициент. При xx = 0, получим

F - F0 =aln x0 (4)

В задаче структурирования требований к характеристикам элементов x ПТС оптимизирующим критерием является функция стоимости конкретной ПТС F(x) , а ограничением является условие равенства показателей

функционирования заданному значению Ф( x) = P/1, 3/.

Если пренебречь затратами на монтажно-настроечные работы, то стоимость ПТС есть сумма стоимости ее элементов f = Fs, где Fs зависит

от дисперсии погрешности ds и вероятности отказа qs элемента. Эмпирически установлено, что возможное улучшение характеристик падает с ростом стоимости по закону dk - dх = (d0 - dх )exp j- F - F(01. Действительно, из этого

dk - dk+1 Fk - Fk-i Fk+i - Fk соотношения следует, что ---= 1 - exp --- --, т.е.

dk - dx a a

уменьшение дисперсии погрешности пропорционально максимально возможному ее уменьшению в данных условиях и (приблизительно) пропорционально ожидаемому увеличению стоимости.

F0 - F

При dx = 0 d = d0exp F-или F = F0-aln q

exp --или F = F0 ш 0

a qs

Рассуждая аналогично относительно уменьшения вероятности отказа, можно принять

( 1 V л

1 -as xn-r

1 -в ln

JV q0 j

Поиск параметров зависимости (5) для конкретного типа элементов ПТС осуществляется методом наименьших квадратов (МНК) по данным о совокупности прототипов в два этапа /3/.

Пусть показатель функционирования ПТС - вероятность выполнения возложенной на нее задачи (например, процент выхода годных). Выражение для Ф зависит от технологических режимов, надежности и точности работы производственного оборудования.

При малой вероятности нарушения технологических режимов и отказа оборудования решения задачи Ф выражается формулой полной вероятности /4/:

где Hs - событие отказа s - го элемента ПТС, k - число элементов.

Т.к. p(Hs) = p(H0), p(H0) = П Ps, где ps - вероятность отказа s -го

ps s=1

элемента, qs = 1 - ps, то (1.19) можно представить в виде

s=1 ps

и

Ф

mh 0)

1 +77 - И ps =\ps +

(AH0)

ps I s=1

p(Ah 0 )qs

или

Ф

;3П(1 -Ws), где = 1 - p(AHs)

При отсутствии избыточности или при очень малой вероятности отказа устройств формула (7) вырождается в выражение

Ф = Ф1 (р) Ф2 (и)

где Ф1 (р) = p(AH0) зависит от дисперсии суммарной ошибки

элементов

ПТС (линейной комбинации их дисперсий); Ф2 (и )= p(H 0) зависит от суммы вероятностей отказов отдельных элементов ПТС.

При постоянной интенсивности отказов As отдельных элементов ПТС

ps = e s s и

Т.к. q s = 1 - e

Xs ts

то для элементов с высокой надежностью можно

считать qs = Xsts; тогда с той же точностью (до величины второго порядка) верно Ф2 = e~и или Ф2 = 1 - и, где

Рассмотрим упрощенную постановку задачи:

F = F0 -(aslnds +Pslnqs)- min

Пусть s (10)

ф = (1 - e-y Уи

и s s

Уравнения Лагранжа для этой задачи имеют вид

dF-Л^ = 0; -a-Ae~ue ~y (- 1 = 0 или as = Xe - ue - yy dds dds ds v и2 j и

Суммирование дает A = Xe-11 e-yy, jusds = и (11)

dF.-X®L = 0; -&--Xe~u (1 - e~y )= 0 или Д = Xe~u (1 - e y )qs

Суммирование дает В = Xe (1 - e y), и qs = - u (12)

Делением соотношений (12) и (11) получаем

В = (1 - e -y )u, где (1 - e-y )e ~u = P

A e~yy

Обозначая ey = z, можем записать

4>(z) = Binz - lnz-l = 0 (13)

т.е. решение задачи свелось к решению конечного уравнения относительно

z, т.к. и = -, u = 1 (14)

ln z z -1

Решение уравнения (13) можно найти численным методом Ньютона: а) lim 4>(z) = + х, lim W(z) = ln P < 0;

z-+1 z-ОС

1 Г В

( z ln

z(z - 1)j A

б) 4 = -rl-\tzL-1 1 +U< 0 (15)

т.к. z ln z >1 при z > 1;

z -1

в) Ч' = - R + 22 -1 > 0

Az2 (z -1)3 z2 (z -1)2

т.к. R = 1 - z2 + 2z2ln z = (( - П - -1], где t = z2.

Метод Ньютона задается формулой z = zk - 4(zk), где Ч и Ч'

k+1 Ч' (zk)

определяются соотношениями (15) и (13) соответственно.

-1 2

Заметим, что из формулы (13) следует ч(2) = - ln2 + ln2P > 0 при P >

поэтому можно принять z0 = 2.

Решение рассмотренной упрощенной задачи, определяемое формулами (13), (14), (11) и (12) является начальным приближением к решению общей

а Ф задана алгоритмически при

задачи когда f = V>s 11 - as ln If 1 - 0s ln %

известном упрощенном ее выражении типа ф = (1 - e y )e и .

Задача структурирования требований (ЗСТ) к показателям функционирования заключается в оптимизации некоторой функции стоимости от вектора параметров F (x) при ограничении на его выбор в виде равенства другой функции - искажений функционирования заданному значению

) = P. Решение ЗСТ сводится к решению уравнений Куна-Таккера

Г gradF = Х^гасЛФ (16)

[Ф^ )= P

При невозможности их построения (когда Ф задана алгоритмически) или сложности их сведения к конечному уравнению целесообразно использовать итерационные процедуры решения ЗСТ, основанные на допущении о представимости F и Ф отрезками ряда Тейлора.

а) если можно принять f = F0 + (f0r)+ 2stz0s, ф = Ф0 +(Ч0£), то уравнения (16) принимают линеаризованный вид:

/0 + z0s = x0j°

p - ф0

решение которых дается формулами s0 = z-1 (XT0 - /0)

где X = P - Ф0 + ) (17)

б) если принять

f = f0 + (/0s) ф = ф0 + (т0s)+ -stws,

то уравнения (16) принимают вид

T0 + w0s = x0 (t0s)+ 2 £tw0s = p - ф0

решение которого дается формулами

s = W0-1 (ц,/0 -T0)

где = 2( P - Ф0) + (tTz-1t)0

Итерационная процедура поиска нулевого приближения x0 с использованием упрощенного аналитического выражения ф для показателя

функционирования и найденного решения x упрощенной задачи строятся по схеме, выполненной по формуле (17):

xl+1 = xl +sl, l = 0,1,2,...

sl = Xql - bl, a = Z 1T, b = Z~1/

где P Ф + B (18)

X = P - Ф + Bl, A = (ta), В = (tb)

при сходимости процедуры

Итерационная процедура уточнения x0 с использованием приближенного градиента Ч = gradФ и значений ), определяемых на имитационной модели

в последовательности получаемых точек, может быть построена аналогично, однако легко показать, что при замене фк на ф° будет справедливо

k P - Фа

е

(Pv) > поэтому

xk+1 = xk +sk, k = 0,1,2,...

можно

предложить

схему

где

k k p - ф,

(19)

что следует из условия (е\ = p - фк.

0 к н

Условия сходимости процедуры x ; x - x имеют вид ju + Mt0 < 1

U = max

(Ф -УФ, b) I

где

M = max

(ФЬ)к

fbTwb)k\

(20)

и

2(ФЬ))

(0 = P -Действительно

p - фк+1 = (p - Фк )-(Фк+1 - фк ) = (( - Фк )-(УФк )-1 Ptw4

или с учетом (19) и равенства (pksk )= P - Фк

(btwb)k

или, обозначая (к = р - Фк , tk+1 < u + Mtk2 = (ju + Mtk )tk при условии U + Mt0 = L < 1, t1 <(u + Mt0 ))0 = Lt0 < t0 и tk < Lkt0, следовательно, при к -ос будет tk -- 0, т.е. lim sk = 0, а

x - x =

к--<x

x - x <

\(фь)р\ 1 - l

Реализация схемы (19) при соблюдении условия (20) обеспечивает

быструю (в геометрической прогрессии) сходимость последовательности x к конечному вектору x *.

k *

Отметим, что при x x из линеаризованных уравнений Куна-Таккера следует

f * = я*Ч*

ф* = p [0oPt =P

Из vф = Ч(1 + ju) по теореме о малом параметре [....] следует x* = xopt + juy. Тогда

F* - fopt = u(f0pty)+jJ22 (ytzopty)

Ф* - Фор( = /а((Фopty)+u1 (ytwopty) Т.к. Ф* -фор, = 0 имеем v)?)(ytw0pty) и f* -fopt (yt Uy), где U = Zopt - koptwopt

Значение функции стоимости F в предельной точке отличается от

оптимального на величину второго порядка малости относительно разности точного и приближенного градиентов функции Ф.

Таким образом, линеаризация условий оптимальности позволяет свести решение ЗСТ к двум итерационным процедурам - поиска и уточнения нулевого приближения с аналитическим расчетом поправок и условий сходимости. Предложенные процедуры обладают высокой скоростью сходимости, а значение функции стоимости в предельной точке очень мало отличается от оптимального /32/.

Литература

1. Ванг С.Б., Смирнов Ю.М. Обоснование методы субоптимального распределения требований к характеристикам проектируемых систем.

Труды СПбГТУ Вычислительная техника, автоматика и радиоэлектроника , 1997, № 469, с. 119-129.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1998. - 319 с.

3. Семенова Е.Г., Смирнов Ю.М., Фролова Е.А. Структурирование требований к показателям функционирования бортовых комплексов. СПбГУАП, 2004. Депонир. в ВИНИТИ 12.02.2004, № 244-В2004

4. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М.: Советское радио, 1975. - 368с.