Разделы
Главная Сапромат Моделирование Взаимодействие Методы Инновации Индукция Исследования Факторизация Частоты
Популярное
Как составляется проект слаботочных сетей? Как защитить объект? Слаботочные системы в проекте «Умный дом» Какой дом надежнее: каркасный или брусовой? Как правильно создавать слаботочные системы? Что такое энергоэффективные дома?
Главная »  Построение решения 

1 2

Дп(т,А1) = - А'/А, n = 6, (т,А1) = А^А^1, n = 7k,

Dkm =(т ) = Щ (0(т ),а0(т))

и = и.(т ) = ii д^А(А0(т)).

Особенности при А - 0, которые присутствуют в коэффициентах рядов (3.3) переходят в особенности коэффициентов Дп, Fn при т - 0. В следующем утверждении устанавливается характер этих особенностей:

Лемма 4. Функции ), (т), и.(т), Fn(т, А1, Q1), Д^т, Аь Q1) можно пред-

ставить в виде:

(4.9)

Skm(T) = т k jSkm(T),

, , j. mod 2~ (\

Бп = J Qn+1-7j-12k 1/2-3j/2-k дпк (т),

12k+7j<n+1

Fn = J Qn-5-7j-12k -1-3j/2-k Ff (т).

12k+7j<n-5

Утверждения леммы следуют из теоремы 2 и формул (4.5), (4.6) (4.8). В частности для из (3.7) имеем:

(т ) = - -+ Р(т). (4.10)

т

5 Усреднение в промежуточной переменной.

Целью данного пункта является дальнейшее усреднение полученных уравнений

(4.7).

Система (4.7) в главном представляет собой линейные уравнения: е1/2 =щ>(т)О10(т)) О(т)А1,

(5.1)

в1/2 =О(т )Q1, ат

с малым параметром е1/2 при производных. Так как в правой части находятся одинаковые по модулю коэффициенты, то решение немедленно выписывается через экспоненты. Если signi)О^(т)) > 0, то одна из экспонент будет растущей.



Этот случай нам не подходит, так как целью построений является двухпараметри-ческое семейство ограниченных решений. В следующем утверждении приведены условия при которых существует такое семейство решений:

Лемма 5. Существует единственный корень уравнение (4.4) такой, что для системы уравнений (5.1) существует двухпараметрическое семейство ограниченных решений при т £ (0, т0):

Qi(r,e) = Ccos (f + ф0) , Ax(t,e) = Csin(f + ф0),

(5.2)

f = e 1/2 / D(t)o!t.

Здесь C, ф0 - произвольные постоянные.

Доказательство. Выберем корень уравнения (4.4) из условия:

f (0)ycoso(0) > 0. (5.3)

Покажем, что это условие обеспечивает положительность подкоренного выражения в (5.2). Действительно имеем:

-1(0)D11o°(0) = 0,

следовательно, значение подкоренного выражения определяется производной в точке 0. Значение производной в нуле равно:

£ ( 1DKX0) = DS>(0) (0) = - If vY3V<i>(0) (0))2 cos o(0).

Следовательно, подкоренное выражение имеет вид:

- 1(t (т) = тМ 3V,<)(0) -f (°))2 cos o(0) + O(T2).

Оно является положительным при достаточно малых т и при выполнение условий леммы.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что формулы (5.2) дают решение системы (5.1). Лемма доказана.

В дальнейшем предполагаем, что выбран нужный корень уравнения (4.4).

Для решение исходной задачи требуется построить асимптотику решений системы (4.7) пригодную на временах т = O(1),e - 0. Следую методу описанному в [9] выберем старший член асимптотики решения системы (4.7) в виде решения невозмущенной системы (5.2) при подходящей деформации амплитуды и фазы.

т



Целью данного пункта является переход от системы (4.7) к системе для амплитуды C(£,е) и фазы s(£,e) посредством асимптотической замены:

( г^И \ = C ( \ + Уek/12 ( MO \ (5.4)

c 2п периодическими по переменной s коэффициентами.

Целью замены является переход к новой системе, которая не содержит быстрой переменной s и является треугольной:

е1/2дтs = О(т) + ek/6Gk(т, C), (5.5)

дт C = ek/6Pk (т,С). (5.6)

В процедуре усреднения подлежат определению коэффициенты рядов Xk, Pk, Gk, Pk. Функции pk,т, C),Xk(s,т, C) строятся в классе функций 2п периодических по s. Для однозначности построений на них накладывается дополнительное требование - отсутствие первых гармоник. Коэффициенты рядов находятся по обычной методике [9], в данной работе приведено утверждение описывающая структуру этих коэффициентов:

Теорема 4. Существует асимптотическая замена вида (5.4) такая, что система уравнений на новые переменные C, s является треугольной. Функции xk(s, т, C), р^,т, C), Gk(т, C), Pk(т, C) можно представить в виде:

( \ [(k+1)/6] / ~п( \\

(Xk\ = V Ck+1-6nY-3n/2( X,т) ], (5.7)

[k/3]

Gk = т1/2 C2k-6nт-3п/(т), (5.8)

[k/3]

Pk = т-1 C-3п/2рР;п(т). (5.9)

Здесь функции Х/с^,т), ps) 2п периодические по s, гладкие по т, функции (7п(т), -Р/п(т) - гладкие по т.

Обычно в подобных задачах оказывается, что правая часть уравнения для C является функцией того же порядка при е - 0, что и возмущения, т.е. е1/2дтC = O(e1/12). Возможны такие возмущения, что величина C - константа, т.е. дтC = 0. Такие возмущения называются консервативными. Возмущения данной системы



является некоторым промежуточным между ситуацией общего положения и консервативной системой.

Вторым свойством системы (4.7) является четность-нечетность коэффициентов правых частей Bk, Fk относительно A1, П1. Эта особенность обеспечивает возможность разложения правых частей уравнений для C, s в асимптотический ряд по степеням е1/6, в случае отсутствия этого свойства возникал бы асимптотический ряд по степеням е1/12.

Приведем явную формулу для P0, она понадобится в дальнейшем:

Po = C ( (ln DI У + 2S10 + 2D01 + 2-1D0 . (5.10)

6 Решение системы в медленной переменной.

Исходная задача свелась к системе (5.5)-(5.6), для правой части которой известна асимптотика при e - 0, с коэффициентами имеющими структуру (5.8), (5.9). Построение асимптотики функций C(т, е), s(t, е) при е - 0 является задачей регулярной теории возмущений и не вызывает затруднений. Основная цель данного пункта - определение структуры при т - 0 коэффициентов асимптотики при е - 0.

Сначала построим асимптотику для решений уравнения (5.6).

Лемма 6. Существует асимптотитическое решение уравнения (5.6) в виде ряда по степеням е1/6 с коэффициентами зависящими от т:

C(т,е) = £ е^ОДт; C0). (6.1)

Для коэффициентов Сп(т) верно следующее представление:

[n/2]

Cn(T; C0) = т-,1+2n)/4 тk lnk(т)C*(t; C0), (6.2)

где Cn(т) - гладкие по т функции; C0 - произвольная постоянная. При дополнительных требованиях <9TreC°m(0) = 0, Vm > 0, C°(0) = C0 все функции определяются однозначно.

Доказательство. Подставив (6.1) в уравнение (5.6) получим рекуррентную систему для определения Cn(T):

StG> - P0(T,C0)=0, (6.3)

дт Cn - P0 (T,Cn) = ± £ JL SmPjC0> \; C(l С ...Cm. (6.4)

1=1 m=0 ii +J2 + ...+im=n-1



С учетом (5.10), общее решение линейного уравнения (6.3) имеет вид:

здесь C произвольная постоянная.

Подынтегральное выражение с учетом формул (4.9),(4.10) имеет следующий

+ + U1D°° + 1/т = -1 + Р(т) + D 10(т) + тР1 (т )D 00(т) + 1 = (т),

где Р1(т) гладкая функция. Следовательно, показатель экспоненты и сама экспонента является гладкой функцией т. Для множителя имеем

( -и1(т) \ 1/4 = / -Р1(т) \

т-1/4m (т).

С учетом этих выражений получаем:

(т ) = т-1/4 Cc),

где Р(т) гладкая функция т. Константу C0 и функцию ) определим так:

C0 = CP(0), CV ) = Р(т )/Р(0).

Для функции C (т) формулы (6.2) доказана.

Предположим, что теорема доказана при всех k < n. Тогда правая часть уравнения для Cn( т) имеет вид:

[(n-1)/2]

МтН т-(5+2п)/4 £ тklnk(т^т^0).

Так как ) решение однородного уравнения, то решение уравнения для Сп(т) можно записать в виде:

Cn ) = Co(т )J Thn(,C0)/C0()d.

С учетом вида C0 подынтегральное выражение представляется в виде:

[(n-1)/2]

hn(; C0)/a(#) = r(2+n)/2 #k lnk(0)/4(0; C0).



Интегрирование увеличивает степень т у всех слагаемых на 1 , кроме слагаемых вида ат-1 lnf (т), которые после интегрирования имеют вид а Ш'+1(т+ 1). Слагаемые такого вида присутствуют только при n = 2m. Проинтегрировав и умножив на C0(t), получаем для Cn(T) формулу вида (6.2), для выполнения дополнительного условия при n = 2m необходимо добавить решение однородного уравнения с соответствующим коэффициентом. Лемма доказана. Для s(t, е) строится аналогичный ряд:

Лемма 7. Существует асимптотитическое решение уравнения (5.5) в виде ряда по степеням е1/6 с коэффициентами зависящими от т:

о

s(t) = е-1/2 е^т; C0) + s0. (6.5)

Для коэффициентов sn(T; C0) верно следующее представление:

[,n-1)/2]

sn(T; C0) = т,3-n)/2 £ тк lnk(т)5П(т; C0),n = 2m,

[,n-1)/2]

sn(T; C0) = т,3-n)/2 £ Tk-*m lnk(t)C;(t; C0),n = 2m + 1,

(6.6)

где C (t) - гладкие по т функции; #m -символ Кронеккера, s0 - произвольная постоянная. При дополнительных требованиях ST -1C2m+1 (0) = 0, Vm > 1 все функции определяются однозначно.

Доказательство. С учетом (6.1) уравнение для s приобретает вид:

дтs = е-1/2 е^С^т, C) = е-1/2 е^ОДт),

n=0 n=0

где Gп(т) определяется по формуле:

Gn (т ) = /Г SCf (C0 (т), т) £ (т)... (т).

j=0 1=0 ii+...+ij=n-f

С учетом (5.8),(6.2) имеем:

[,n-1)/2]

n(T ) = т,1-n)/2 тk lnk (t )Gkn(T).

Проинтегрировав уравнение для s получаем, что sn(T) определяются через интеграл и имеют представление (6.6). Лемма доказана.



После нахождения C, s для исходного уравнения построена полная асимптотика.

В коэффициентах рядов (6.1) и (6.5) есть нарастающие особенности при т - 0, которые делают эти разложения непригодными при малых т. Из требования малости следующего члена по сравнению с текущим определяется область пригодности этих рядов: т е1/3, т.е. t е-2/3. Легко показать, что при таких т пригодны все построены асимптотические ряды.

7 Заключение.

Окончательные результаты полученные в статье собраны в виде следующего утверждения:

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда для уравнения (1.1) существует двухпараметрическое семейство асимптотических решений (3.1), в котором параметры А, Q определяются выражениями (4.1),(4.2),(5.4). Для величин C, s построена асимптотика (6.1),(6.5), в которой присутствует два произвольных параметра C0,s0. Все ряды являются асимптотическими при е-2/3 <С t < O(e-1).

В построенном формальном асимптотическом решении присутствуют два разных типа колебаний: быстрые колебания в переменной о с частотой порядка содержатся в эллиптических функциях; медленные колебания в переменной s с частотой O(e1/2) содержатся в тригонометрических полиномах. Например, после переразложений главный член и первая поправка имеют вид:

u(t,e) = W(о,Е0(т)) + е1/12т-1/4C0) c°s(s)dCTW(о,Е0(т)) + O(e2/12), е - 0,

о = е-1Ф(т ) + 0О,(т), s = е-1/2т3/2Я00(т)+е-1/3тНр10(т) + е-1/2Я°(т) + Я°(т) + Я31(т) lnт + s0.

Здесь функции с волной - определенные гладкие функции, C0, s0 - произвольные константы. По малой частоте частоте присутствуют только конечные гармоники. Так как тФ(т) + пет) > 8 > 0, m £ N n < N, то в данной задаче не возникает проблемы малых знаменателей [13].

Автор выражает благодарность Л.А. Калякину за обсуждение данной работы, О.М. Киселеву за полезные замечания.

Список литературы

1. Fajans J. and Friedland l. Am. J. Phys. 2001. 69, №10. P.1096-1102.

2. Голованевский К.С. Физика плазмы. 1985. Т. 11,вып.3. С.295-299.



3. Friedland L. Physical Review E. 1997. V. 55. P.1929-1939.

4. В.И. Векслер. Доклады АН СССР. 1944. Т. 43, С. 346-348. С. 393-396.

5. А.А. Андронов, Г.А. Горелик. Доклады АН СССР. 1945. Т. 49. С. 664-666.

6. E.M. MacMillan. Phys. Rev. 1945. V.68. P.153.

7. Калякин Л. А. Математические заметки. Т.73, вып.3. 2003 С. 449-452.

8. А.М. Ильин. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989.

9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 501

10. Кузмак Г. Е. Прикладная математика и механика. 1951, т.23, №3, с.519-506.

11. Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука.

1969. 379 с.

12. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях Итоги науки и техники, 1980., том 15, с. 4-94.

13. Арнольд и др. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.3, Москва, 1985, 303с.





1 2