пучку электронов с определенным импульсом приписывают волновую функцию (отвечающую начальному состоянию) в виде плоской волны.

Т. о. классическая механика и электродинамика оказываются принципиально встроенными в теоретическую часть и в процедуры приготовления (о процедурах измерения речь впереди).

Непривычным моментом здесь является различение физической системы и ее математического образа и, особенно, состояния системы и отвечающего ему математического образа - волновой функции (ВФ), другими словами, введение наряду с математическим полноправного модельного слоя (хотя утверждение, что волновая функция не имеет непосредственного физического смысла достаточно общепринято). Эта двухслойность теоретической части была заложена еще Г.Галилеем в его Беседах... (подробнее в [11; 17]).Весьма ярко это различие проявляется в характерном для физики использовании различных математических представлений (т. е. математических образов физической системы, ее состояний и соответствующих уравнений движения): Шредингера, Гейзенберга, взаимодействия и др. для решения одной и той же (по физической модели) задачи (это является причиной существенной головной боли у философов, которые сводят теоретическую часть к математическим уравнениям).

Но наиболее четко модельный слой проступает в описанных постулатах Бора, задающих процедуру квантования затравочной классической модели . Такая же процедура используется и при создании теории относительности. Она вообще характерна для физики ХХ в. Посредством этой процедуры в физику проникает пифагореизм (и очень близкая ему по духу проблема необычайной эффективности математики Е.Вигнера [25]) и впечатление о математизации физики ХХ в. Так теоретическая физика ХХ в. широко использует принципы инвариантности и симметрии при конструировании математического образа физической системы (гамильтониана) как на уровне составления сложных ( многочастичных ) систем из имеющихся первичных идеальных объектов , так и при попытках создания новых первичных идеальных объектов (так появляется спин).

Но такое увеличение роли математического конструирования не обязательно ведет к пифагореизму и не отменяет описанную выше роль онтологического моделирования. Понимание, недостаток которого ощущают В. Гейзенберг и другие в квантовой механике, по-прежнему связано с построением онтологических моделей. Математическое конструирование, с нашей точки зрения, надстраивается над этими построениями, состоящими из частиц и полей . При этом математик

7 Как вытекает из проделанного в [17] анализа, свои онтологические модели первичных идеальных объектов физика строит на основе двух основных прототипов: частиц, первый вариант которых был разработан в механике Ньютона, и непрерывной среды, первый вариант

(точнее разделов математики) много и создатели нового раздела физики выбирают то, что им больше подойдет из достаточно широкого набора.

Наконец, постулаты Борна - его правила вероятностной интерпретации волновой функции (ВИВФ) связывают между собой математический образ состояния системы, модельный образ состояния системы (правая стрелка на схеме (1 )) и соответствующие процедуры измерения. Именно они вносят вероятность в квантовую механику. Связь же состояний, задаваемая уравнением Шредингера в квантовой механике столь же детерминистична (однозначна), как и в классической механике.

Правила Борна сводятся к следующему. Кроме математических образов физической системы А (гамильтониана НАкв) и ее состояний (волновой функции *Ра) вводится математический образ измеримой величины U посредством набора функций {%uK} в том же самом гильбертовом пространстве функций, что и Ч^А. Для

этого существует каноническая процедура , которая вводит наборы функций {% k} и соответствующих величин {uk} для каждой измеримой величины U так, чтобы результат акта измерения совпадал с одной из величин uK, а вероятность этого результата была пропорциональна квадрату модуля ck2 соответствующего коэффициента спектрального разложения по {%\} волновой функции A(x,t)= Ick%uk

С другой стороны, ВИВФ имеет дело с процедурами измерения, в которых происходит (как и в эйнштейновской СТО) существенные изменения по сравнению с классической механикой. Каждой величине, -говорит В.А.Фок, - соответствует своя серия измерений, результаты которой выражаются в виде распределения вероятностей для этой величины [14]. Т.е. вероятностный тип связи идеального состояния системы с реальным предполагает в общем случае не одно измерение (как в классической физике), а достаточно длинную серию измерений над одной и той же системой в одном и том же состоянии, т. к. состояние системы здесь определяется распределениями вероятностей значений измеримых величин, а не самими их значениями. Это вносит некоторый элемент неопределенности (который последовательно уменьшается в случае удлинения серии измерений), но не волюнтаризма (индетерминизма).

Здесь мы подходим к самому сложному месту - связи измерений и состояния. Во-первых, надо уточнить понятие состояния физической системы. В [11; 17]

которой был разработан в рамках гидродинамики (поля и волны - дочерние образования). В квантовой механике эти два образа накладываются друг на друга.

8 Эти процедуры, сформулированные де Бройлем в более математизированной форме были названы им принципом квантования и принципом спектрального разложения [26, с. 1 73174].

вводилось определение, согласно которому состояние определяется тем, что его знание позволяет ответить на все могущие возникнуть в данном разделе физики вопросы относительно данной физической системы. Мы полагаем, что все вопросы, которые можно задавать в квантовой механике можно относить только к распределениям вероятностей различных измеримых величин. Значения же отдельного акта измерения сопоставить с состоянием системы (если оно не приготовлено в собственном состоянии) нельзя ни до, ни после этого акта измерения. Это достаточно сильное утверждение, существенно отличающееся от приведенной выше копенгагенской интерпретации Борна. По-видимому, более привычно связывать состояние и определенность значений измеримых величин (это утверждение остается в нетрадиционном модальном варианте копенгагенской интерпретации Б. ван Фраассена [12]).Тем не менее наше определение понятия состояния не противоречит постулатам Борна и является естественным пролонгированием понятия состояния на квантовую механику. Пространство состояний определяется полным набором одновременно измеримых величин. В квантовой механике рассматриваются различные варианты таких наборов, соответственно им отвечают различные типы квантовых частиц (например, частицы со спином и без).

Так выглядит система постулатов, задающая новый первичный идеальный объект - квантовую частицу9. Эти квантовые частицы могут быть очень разными: электрон, протон, нейтрон, атом как целое и т. п. Но все эти различия в(над)страивается в указанную модель квантовой частицы .

2.3. Дополнительность и принципы дополнительности и неопределенности

Теперь перейдем к обсуждению наиболее непривычных следствий, которые определяют непонятность квантовой механики.

На первом месте здесь безусловно стоит принцип дополнительности Бора, который Гейзенберг тесно связывает с проблемой понимания квантовой механики [19, с. 112]. Этот принцип, провозглашенный Бором в 1927 г. на Международном физическом конгрессе в небольшом итальянском городке Комо, связывается с предложением называть явлением лишь совокупное описание наблюдаемой физической системы и использующегося для этого наблюдения прибора [24,

Многочастичная квантовая система, в отличие от своего классического аналога, обладает некоей дополнительной целостной характеристикой. Эта особая характеристика фиксируется постулатом о неразличимости (тождественности) квантовых частиц, составляющих многочастичную квантовую систему. Они сводятся к постулату о статистическом распределении квантовых частиц по состояниям Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для частиц, соответственно, с полуцелым (фермионов) и целым (бозонов) спином. Следствием первого является принцип или запрет Паули.

с. 162]. Дж.Холтон, в рамках своего тематического анализа науки, расценивает принцип дополнительности как рождение новой темы, что является весьма редким для истории науки событием, и даже называет его поворотной точкой человеческого познания [24, с. 27, 159]. Суть этой новой темы Холтон видит в пути к ясности через исчерпывающее взаимоналожение различных описаний, включающих явно противоречащие друг другу понятия (в качестве каковых могли выступать: корпускулярные и волновые свойства, координата и импульс, пространство и время и другие дополнительные переменные), в пути, на котором следует не примирять противоречия альтернативных типов физического описания, а понять их дополнительность по отношению друг к другу [24, с. 163, 162].

Сам Бор об этом много позже (в 1 949 г.), с учетом длительной дискуссии с Эйнштейном и попытками снять его обвинение квантовой механики в неполноте в связи со знаменитым мысленным экспериментом Эйнштейна, Подольского, Розена (ЭПР) [1], говорил так: На международном конгрессе физиков в Комо, посвященном памяти Вольты и созванном в сентябре 1 927 г., новейшие успехи квантовой физики были предметом обстоятельных дискуссий. В своем докладе я развил тогда точку зрения, которую кратко можно охарактеризовать словом дополнительность ; эта точка зрения позволяет с одной стороны, охватить характерную для квантовых процессов черту неделимости и, с другой стороны, разъяснить существующие в этой области особенности постановки задачи о наблюдении. Для этого решающим является признание следующего основного положения: как бы далеко ни выходили явления за рамки классического физического объяснения, все опытные данные должны описываться при помощи классических понятий.

Обоснование этого состоит просто в констатации точного значения слова эксперимент . Словом эксперимент мы указываем на такую ситуацию, когда мы можем сообщать другим, что именно мы сделали и что именно мы узнали. Поэтому экспериментальная установка и результаты наблюдений должны описываться однозначным образом на языке классической физики.

Из этого основного положения, обсуждение которого стало главной темой излагаемой здесь дискуссии, можно сделать вывод. Поведение атомных объектов невозможно отграничить от их взаимодействия с измерительными приборами, фиксирующими условия, при которых происходят явления В самом деле, неделимость типичных квантовых эффектов проявляется в том, что всякая попытка подразделить явления требует изменения экспериментальной установки и тем влечет за собой возможности принципиально неконтролируемого взаимодействия между объектами и измерительными приборами. Вследствие этого данные, полученные при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной-

единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта [27, 6.2, с. 406-407].

Следует иметь в виду, что, как было уже отмечено во введении, формулировки принципа дополнительности весьма неоднозначны и расплывчаты. На это указывал в 1949 г. и Эйнштейн, писавший, что несмотря на многочисленные попытки он так и не смог к тому же уяснить точной формулировки боровского принципа дополнительности [28, p. 674]. Де Бройль, называя Бора Рембрандтом современной физики , тоже отмечал, что для соображений в защиту концепции дополнительности характерна светотень , благодаря которой они не всем могут показаться вполне убедительными (по [5, с. 123]).

Необходимо также отметить, что, как справедливо указывается в [24, 5], формулировка и обсуждение принципа дополнительности (ПД) Бора весьма тесно переплетаются с принципом неопределенности (ПН) Гейзенберга. Решающей и новой особенностью применения Бором квантового постулата (т. е. принципа неопределенности ) было распространение его на процессы наблюдения атомных процессов -- пишет И. С. Алексеев -- . Это было стимулировано работой Гейзенберга по установлению соотношения неопределенностей. По словам Бора, суть гейзенберговского подхода состояла в неизбежности квантового постулата при оценке возможностей измерения [27, 6.2, с.37]. Благодаря применению этого постулата к процессам наблюдения (измерения) последние тоже зачислялись в разряд атомных процессов и становились элементами физической реальности, подлежащими отображению в теоретической схеме [5, с. 1 29].

Такое переплетение принципа дополнительности и принципа неопределенности , по общему мнению, стало неотъемлемой частью так называемой копенгагенской интерпретации (точнее интерпретаций), которая постепенно заняла господствующее положение и получила статус ортодоксальной . Тем не менее Эйнштейн и через четверть века после провозглашения принципа дополнительности оставался в оппозиции по отношении к нему: Мне кажется ошибочным, - писал он, - теоретическое описание, непосредственно зависящее от эмпирических утверждений, что характерно, например, для боровского принципа дополнительности [28, p. 674]. Эйнштейн считал, что: Существует нечто вроде реального состояния физической системы, существующего объективно, независимо от какого бы то ни было наблюдения или измерения [1, т.3, с. 624]10.

Ошибка же эйнштейновской интерпретации ЭПР-эксперимента состояла в принятии мифа о редукции ВФ и некритическому применению к принципиально двухчастичным перепутанным состояниям модели, состоящей из отдельных частиц.

И мы полагаем, что так оно и есть. В соответствие с приведенном в конце предыдущего пункта определения состояния квантовой системы, которое фиксируется в математическом слое посредством волновой функции (ВФ), оно проявляется через распределение вероятностей различных наборов измеримых величин, в том числе и (взаимо)дополнительных .

Что касается по-разному подаваемому принципу дополнительности , то он выражает специфическую для квантовой механики указанную сложность измерения состояния системы, т. е. восстановления состояния системы, исходя из данных измерения (при приготовлении таких сложностей не возникает).

В общем виде это свойство представляется нам следующим образом.

Каждая квантово-механическая система, как и классическая, характеризуется соответствующим набором измеримых величин. Однако в квантовой механике эти величины распадаются на взаимодополнительные . В математическом слое им отвечают некоммутирующие друг с другом операторы. Физическим же проявлением этого свойства является принцип неопределенности (ПН) Гейзенберга, утверждающий, что для любого состояния системы произведение неопреленностей измерений этих величин (квадратные корни дисперсий соответствующих функций распределения) будет больше постоянной Планка. Выражение нельзя одновременно измерить с любой точностью здесь следует понимать в логическом, а не временном смысле (т. е. не в смысле, что при измерении одной величины, прибор возмущает другую). Подчеркнем, что это свойство состояния системы, которое вытекает из стандартной квантовой теории - из уравнения Шредингера и отражает типичные для волны свойства. Его не надо вводить как дополнительный к приведенным в предыдущем разделе постулатам.

Исходя из этого абсолютно четкого определения (взаимо)дополнительности, набор измеримых величин, отвечающих данной квантово-механической системе разбивается на полные наборы одновременно измеримых величин (НОИВ) (т. е. величин не подпадающих под принцип неопределенности). В математическом слое каждому такому НОИВ, являющемуся характеристикой системы, отвечает полный (и ортонормированный) базис пространства состояний системы в гильбертовом пространстве. Т. о. каждый такой НОИВ задает полное пространство состояний системы, а также базис по которому может быть разложена волновая функция любого состояния системы.

Волновая функция (ВФ) является математическим образом состояния квантовой системы и содержит полную информацию о состоянии системы.

Но измерение соответствующих НОИВ измеримых величин дает лишь распределение вероятностей этих величин или квадраты модулей соответствующих коэффициентов разложения ВФ по базису, отвечающему данному НОИВ. Фазы

коэффициентов здесь не определяются и полная волновая функция не может быть измерена. Однако полную реконструкцию ВФ (или ее эквивалента - матрицы плотности), а следовательно и состояния системы, можно измерить с помощью томографических методов из измерения распределения измеримых величин ( наблюдаемых ), которые являются определенными комбинациями дополнительных измеримых величин [40, 42].

На более конкретных примерах это свойство выглядит так.

Часто (это самая простая его форма подачи) принцип дополнительности формулируют в дихотомном виде: в одном эксперименте можно измерить или координату x или импульс p. Однако в общем случае имеется непрерывная последовательность возможностей, когда измеряется некоторая линейная комбинация из координаты и импульса(в матматическом слое этой измеримой величине соответствует оператор X = aX + (3F). При этом ни координата x, ни импульс p не имеют в общем случае определенных значений. Соответствующие эксперименты привлекают большое внимание в последнее время (см. [30-35]).

Аналогично, в случае двухуровневой системы (частица со спином S= 1/2 или фотон с определенной поляризацией) произвольное состояние имеет вид а| 1/2) + в|-1/2), поэтому здесь также имеется непрерывный ряд возможностей. В случае частицы со спином 1 /2 переход к произвольному состоянию реализуется поворотом магнита Штерна-Герлаха.

В связи с этим измерения с различными а и в не просто дополняют друг друга, а дают каждый раз новую информацию. Это обстоятельство и обеспечивает практическую возможность измерять состояние объекта (фиксируемое его волновой функцией). В реальных экспериментах для измерения состояния проводят несколько серий экспериментов, в которых измеряются различные комбинации X и P с достаточно мелким шагом (см. [36-42]. Получил распространение термин инженерия волновой функции (wavefunction engineering).

В такой четкой и однозначной постановке, применяющейся по сути и в потоке практической работы внутри квантовой механики (в первом потоке), принцип дополнительности вместе с расплывчатостью теряет и многие черты, которые ему приписывал Бор.

Во-первых, это касается центрального из приведенного выше его высказывания тезиса о неделимости квантовых явлений, невозможности отграничить (атомные объекты) от их взаимодействия с измерительными приборами . В реальной работе физика не встает никакой подобной проблемы различения атомного объекта и измерительного прибора , ситуация здесь та же, что и в классической физике. Связано это с тем, что физики умеют приготовлять исходное состояние, теоретически описывать его изменение с помощью ВФ и дать с ее помощью ответ

на все осмысленные в квантовой механике вопросы, в том числе и о распределении вероятности любой измеримой величины, имеющей отношение к данной системе (в том числе и для взаимодополнительных величин). Обсуждаемая Бором проблема возникает только в рамках его спора с Эйнштейном и другими противниками копенгагенской интерпретации при рассмотрении определенным образом проинтерпретированных парадоксов редукции (коллапса) волновой функции и Эйнштейна, Подольского, Розена (ЭПР). При предлагаемом ниже подходе к этим парадоксам проблемы рассеиваются.

Во-вторых, очень сомнительным представляется постоянно повторяемый им его аргумент о непреходящем значении языка классической физики как средства коммуникации между физиками: Любое описание природы должно быть основано на использовании представлений, введенных и определенных классической теорией [27, т.1, с. 482] (см. также [27, т.2, с.392-393]). С нашей точки зрения под фиксацией границы между классической и неклассической механикой, введенной Бором и подхваченной другими физиками и философами, скрывается граница между теоретической и нетеоретической частью (схема 2), между теорией и процедурами сравнения с эталоном (подробнее см. в п. 3.1). Последняя действительно имеет логически необходимый статус. Но в качестве эталонов необязательны объекты классической механики. В теории элементарных частиц при определении нестабильных частиц с помощью пузырьковой камеры в качестве эталонов выступают более стабильные элементарные частицы. То же имеет место и при измерении неклассических измеримых величин, характеризующих элементарные частицы.

В итоге от принципа дополнительности Бора остается лишь само понятие (взаимо)дополнительности измеримых величин и выделенная Дж.Холтоном тема исчерпывающего взаимоналожения различных описаний, включающих явно противоречащие друг другу понятия , вполне согласующаяся с упомянутым выше томографическим методом. Но этот сухой остаток - чрезвычайно важное свойство квантовых состояний, характеризующих их отличие от классических.

Подчеркнем еще раз, что все вышесказанное, включающее ПН и ПД, относится к свойствам квантовых систем и их состояний, а не является результатом взаимодействия с прибором при измерении. Эти свойства следуют из приведенных выше постулатов Шредингера, Бора и Борна и не являются независимыми принципами или постулатами.

2.4. Принцип дополнительности и неколмогоровость квантовой теории

Можно обобщить принцип дополнительности и, кроме того, охватить парадокс

Белла (отметим однако, что статусы принципа дополнительности и парадокса Белла совершенно различны - первый является одним из основных свойств квантовой частицы, а второй - формальный и искусственный прием, который действует лишь в рамках определенной классической интерпретационной вероятностной модели и предполагает выполнение ряда допущений [43]) и теорему Белла, под которой понимается доказательство невозможности описания некоторых предсказаний квантовой теории в терминах скрытых параметров. Это обобщение позволяет с единых позиций рассматривать как описанные в предыдущем разделе свойства, так и различные ограничительные (no go) теоремы (Белла, Кохена-Спекера и др.). Для этого воспользуемся понятием неколмогоровой случайной величины.

В классической теории вероятностей свойства случайной величины можно задать двумя (обычно эквивалентными) способами - задавая или ее распределение или полный (бесконечный) набор моментов. В классической теории вероятностей совместное распределение вероятностей для двух случайных величин w(x, р) = w(x1, x2) и набор моментов несут обычно эквивалентную информацию. В квантовой теории в случае некоммутирующих операторов первый способ в общем случае неприменим, так как совместного распределения вероятностей для соответствующих измеримых величин не существует Отсутствие распределения при наличии моментов можно принять за определяющий признак неколмогоровой случайной величины.

Подход, развитый в [30, 30b], позволяет классифицировать различные варианты доказательств теоремы Белла и описывать их в рамках общего компактного формализма с минимальным количеством модельных ограничений. В рамках минимальной интерпретации эффект рассматривается как проявление квантовой корреляции, которая не нуждается в объяснении с помощью введенной ad hoc таинственной квантовой нелокальности , подразумевающей весьма специфическую взаимосвязь удаленных приборов подобную телепатии. Напомним, что аналогичные управляемые корреляции возможны и в классических моделях (см. [30, 62]).

Все же более последовательной представляется концепция неколмогоровости квантовой механики (подразумевающая отсутствие совместных распределений и априорных значений в случае некоммутирующих наблюдаемых [30b]), где в связи с нарушением неравенств Белла используется эквивалентный по смыслу термин неколмогоровость квантовых предсказаний , т.е. невозможность представления квантовых предсказаний через вероятности, удовлетворяющие аксиомам Колмогорова (см. [49; 30]). Эта концепция формулирует единым образом общую особенность квантовых вероятностных моделей: отсутствие элементарных совместных вероятностей для дополнительных (обладающих некоммутирующими

операторами) наблюдаемых при наличии маргинальных вероятностей.

Например, можно измерить или рассчитать три вероятности pm(sm) для известных в классической оптике операторов Стокса Sm плоской волны (m = 1, 2, 3). В случае однофотонного состояния sm = ±1, pm(±1) = (1 ± (Sm))/2. Однако, нельзя ни измерить, ни рассчитать совместное распределение p(s1,s2,s3) > 0, определяющее согласно аксиоме аддитивности Колмогорова маргинальные распределения: p1(s1) = p(s1,s2,s3). Следовательно, квантовые модели, описывающие эксперименты с

s2,s3

одиночными фотонами (или частицами со спином 1 /2), неколмогоровы и приписывание фотону в отдельном испытании набора определенных априорных свойств {sk} (т.е. вектора поляризации e) согласно традициям наивного реализма не имеет смысла.

Аналогичное заключение о неколмогоровости в случае двух или большего числа фотонов (или других систем), принадлежащих нескольким пучкам и описываемых, в частности, ЭПР-состояниями, дает единый подход к разрешению ряда квантовых парадоксов и минимальное их разрешение (см. [49; 30]). Такой подход кажется разумной альтернативой апелляции к нелокальности, поскольку охватывает сразу несколько закономерностей -- отсутствие совместных распределений для некоммутирующих операторов (с чем физики давно смирились с помощью термина дуализм), нарушение неравенств Белла и другие проявления квантовой нелокальности (напомним, что простейшее доказательство неравенств Белла базируется на существовании совместного распределения для четырех наблюдаемых - типа двух параметров Стокса для двух фотонов, см. [50; 29]). Отсутствие неотрицательных совместных распределений следует также непосредственно из свойств наборов квантовых моментов для некоторых состояний (независимо от критериев типа нарушений неравенств Белла), т.е. квантовая проблема моментов не всегда имеет решения [49; 30].

Среди многочисленных парадоксов квантовой механики, т.е. противоречий между квантовыми и привычными классическими представлениями, особое внимание привлекают парадоксы , допускающие -- хотя бы в принципе -непосредственную экспериментальную демонстрацию. К их числу относятся нарушения различных вариантов неравенств Белла и некоторые формы теоремы Кохена-Спекера [44-48] и др. Распространено мнение, что такие эксперименты -реальные или мысленные -- свидетельствуют о квантовой нелокальности -сверхсветовом взаимодействии пространственно разделенных приборов за счет вводимых ad hoc (применительно лишь к данному случаю) неизвестных дальнодействующих сил. Парадокс Кохена-Спекера иногда называют алгебраическим доказательством нелокальности . С этим парадоксом связывают