окружностей для трех узлов [30]. Однако в трехмерном случае триангуляция Делоне может давать очень узкие тетраэдры, тогда как в двухмерном случае алгоритм обеспечивает в некотором смысле оптимальную триангуляцию данного набора точек.

8.4.2. Топологическое разбиение

Метод топологического разбиения (topology decomposition approach) для двумерного случая был разработан Ворденвебером [160]. Согласно этому методу объект аппроксимируется многоугольником, который, в свою очередь, разбивается на множество крупных элементов (gross elements) соединением его вершин до получения треугольников (рис. 8.13, а). Затем крупные элементы разбиваются на более мелкие до тех пор, пока не будет достигнута желаемая плотность ячеек сетки (рис. 8.13, б). Размеры и форма элементов в данном алгоритме не могут быть заданы пользователем, поскольку крупные элементы зависят только от исходной топологии объекта, в частности от распределения вершин. Вершины, относящиеся к одному крупному элементу, могут быть найдены методом триангуляции Делоне, описанным в предыдущем разделе.

а б

Рис. 8.13. Топологическое разбиение

Для формирования набора треугольников по исходным вершинам Ворденвебер разработал операторы, аналогичные операторам Эйлера, применяемым в объемном моделировании. Первый оператор Ворденвебера ОРу применяется к объекту для удаления имеющихся в нем отверстий (рис. 8.14). Затем по вершинам объекта строятся треугольники, которые отделяются от объекта рекурсивным применением оператора OPt, пока вершин не останется всего три. Последний треугольник строится оператором ОР2.

После преобразования объекта в набор крупных треугольников осуществляется их детализация, позволяющая достичь требуемой плотности сетки. Детализация может быть проведена тремя методами (рис. 8.15). На рис. 8.15, а показан метод, применяемый в том случае, если два узких треугольника имеют общую длинную сторону. На общей стороне создается еще один узел, после чего соседние треугольники делятся на части путем соединения их вершин с новым узлом. На рис. 8.15, б показано, как большой треугольник делится путем добавления нового узла в его центре тяжести. В результате деления перечисленными двумя методами может получиться так, что узкие треугольники, уже отвечающие требованиям к плотности сетки, будут иметь общую сторону (рис. 8.15, в). В этом случае качество сетки может быть повышено благодаря использованию второй диагонали четырехугольника, образуемого вершинами двух исходных треугольников.

Учтите, что результат анализа методом конечных элементов может быть таточно точным, если в сетке будет слишком много узких треугольников.

Рис. 8.14. Операторы выделения треугольников

Деление пополам

Деление через центр =0

Транспонирование диагонали

Рис. 8.15. Методы улучшения треугольников

Метод топологического разбиения может быть обобщен на трехмерный случай. Объект аппроксимируется многогранником, который разбивается на тетраэдри-ческие элементы путем последовательного соединения вершин. Затем тетраэд-рические элементы измельчаются делением на более мелкие тетраэдрические

элементы. By и Томасма [159] предложили операторы, аналогичные операторам Ворденвебера, для облегчения процесса построения тетраэдрических элементов. Эти операторы, действие которых демонстрируется на рис. 8.16, используются в следующем порядке. Сначала оператор Т3 применяется к самому объекту для устранения отверстий в нем (рис. 8.16, в). Обратите внимание, что эта операция приводит к появлению двух побочных тетраэдров. Затем от объекта отделяются выпуклые углы, в которых смыкаются три ребра (такие углы называются выпуклыми трехвалентными вершинами). Это делает оператор Т, (рис. 8.16, а). Оператор Ti применяется рекурсивно до тех пор, пока не останется ни одной выпуклой трехвалентной вершины. Если ни одна из вершин не является выпуклой трехвалентной, применяется оператор Т2, выделяющий из объекта тетраэдр (рис. 8.16, б). После его применения образуются новые выпуклые трехвалентные вершины, поэтому снова применяется оператор Т^ Процедура продолжается до тех пор, пока от объекта не останется один тетраэдр.

Оператор Т, Оператор Т2 Оператор Тэ

а б в

Рис. 8.16. Операторы топологического разбиения для трехмерного случая

8.4.3. Геометрическое разбиение

Методы геометрического разбиения (geometry decomposition approach) делятся на рекурсивные и итеративные. Мы расскажем только о рекурсивных методах, поскольку они могут использоваться и в трехмерном случае. Метод рекурсивного геометрического разбиения состоит в построении треугольных или четырехугольных элементов на плоскости. Сначала исходный объект разбивается на выпуклые части вручную или автоматически. Автоматическое разбиение объекта на выпуклые части описано в работе Байката [27]. На границах выпуклых частей ставятся узлы в соответствии с требуемой плотностью конечной сетки. Затем каждая выпуклая часть делится пополам приблизительно посередине длинной оси (рис. 8.17), после чего на этой оси также ставятся узловые точки. Производится рекурсивное деление обеих половинок до тех пор, пока они не станут четырехугольниками или треугольниками. В некоторых вариантах метода деление производится до тех пор, пока в остатке не получатся шестиугольники или восьмиугольники, которые разбиваются на треугольные или четырехугольные элементы в соответствии с заранее заготовленными схемами. В этом случае элементы могут получиться более одинаковыми. Построение сетки рекурсивным методом иллюстрирует рис. 8.18.

Линия возможного деления

Рис. 8.17. Деление по линии

Рис. 8.18. Пример построения сетки рекурсивным методом

Описанный метод может быть обобщен на трехмерный случай. Объект делится на два объемных тела по плоскости лучшего сечения до тех пор, пока все подобъ-екты не превратятся в тетраэдры. В отличие от двумерного случая, где в результате рекурсивного деления может получиться четырехугольник, в трехмерном случае невозможно получение шестигранников непосредственно в результате рекурсивного деления. Однако при желании можно разбить каждый тетраэдр на четыре шестигранника (кирпичика).

8.4.4. Решеточные методы

Решеточные методы (grid-based approaches) основаны на том, что решетка выглядит подобно сетке и может быть преобразована в последнюю при условии, что ячейки сетки вдоль границ объекта будут превращены в элементы. В общем случае более мелкая решетка дает сетку лучшего качества, поскольку в такой решетке доминируют внутренние ячейки правильной формы. Разновидности решеточных методов отличаются друг от друга главным образом методом создания граничных элементов.

По всей видимости, первым решеточным методом был метод Такера и его коллег [150]. Согласно этому методу на объект накладывается треугольная решетка, причем все точки решетки, оказывающиеся вне объекта, удаляются, в результате чего получается зигзагообразная граница. Точки на этой границе перемещаются на границу объекта, что дает готовую сетку. Кикучи [84] расширил этот метод для создания сеток, состоящих главным образом из четырехугольников, однако содержащих некоторое количество треугольников. Он использовал прямоугольную решетку (рис. 8.19). Одним из недостатков обоих методов является исчезновение мелких деталей, размеры которых сравнимы с расстоянием между линиями решетки. В других методах точки на границе решетки не перемещаются на

элементы. By и Томасма [159] предложили операторы, аналогичные операторам Ворденвебера, для облегчения процесса построения тетраэдрических элементов. Эти операторы, действие которых демонстрируется на рис. 8.16, используются в следующем порядке. Сначала оператор Т3 применяется к самому объекту для устранения отверстий в нем (рис. 8.16, в). Обратите внимание, что эта операция приводит к появлению двух побочных тетраэдров. Затем от объекта отделяются выпуклые углы, в которых смыкаются три ребра (такие углы называются выпуклыми трехвалентными вершинами). Это делает оператор Т, (рис. 8.16, а). Оператор Tt применяется рекурсивно до тех пор, пока не останется ни одной выпуклой трехвалентной вершины. Если ни одна из вершин не является выпуклой трехвалентной, применяется оператор Т2, выделяющий из объекта тетраэдр (рис. 8.16, б). После его применения образуются новые выпуклые трехвалентные вершины, поэтому снова применяется оператор Tj. Процедура продолжается до тех пор, пока от объекта не останется один тетраэдр.

Оператор Т, Оператор Т2 Оператор Т3

а б в

Рис. 8.16. Операторы топологического разбиения для трехмерного случая

8.4.3. Геометрическое разбиение

Методы геометрического разбиения (geometry decomposition approach) делятся на рекурсивные и итеративные. Мы расскажем только о рекурсивных методах, поскольку они могут использоваться и в трехмерном случае.

Метод рекурсивного геометрического разбиения состоит в построении треугольных или четырехугольных элементов на плоскости. Сначала исходный объект разбивается на выпуклые части вручную или автоматически. Автоматическое разбиение объекта на выпуклые части описано в работе Байката [27]. На границах выпуклых частей ставятся узлы в соответствии с требуемой плотностью конечной сетки. Затем каждая выпуклая часть делится пополам приблизительно посередине длинной оси (рис. 8.17), после чего на этой оси также ставятся узловые точки. Производится рекурсивное деление обеих половинок до тех пор, пока они не станут четырехугольниками или треугольниками. В некоторых вариантах метода деление производится до тех пор, пока в остатке не получатся шестиугольники или восьмиугольники, которые разбиваются на треугольные или четырехугольные элементы в соответствии с заранее заготовленными схемами. В этом случае элементы могут получиться более одинаковыми. Построение сетки рекурсивным методом иллюстрирует рис. 8.18.

Линия возможного деления

Рис. 8.17. Деление по линии

Рис. 8.18. Пример построения сетки рекурсивным методом

Описанный метод может быть обобщен на трехмерный случай. Объект делится на два объемных тела по плоскости лучшего сечения до тех пор, пока все подобъ-екты не превратятся в тетраэдры. В отличие от двумерного случая, где в результате рекурсивного деления может получиться четырехугольник, в трехмерном случае невозможно получение шестигранников непосредственно в результате рекурсивного деления. Однако при желании можно разбить каждый тетраэдр на четыре шестигранника (кирпичика).

8.4.4. Решеточные методы

Решеточные методы (grid-based approaches) основаны на том, что решетка выглядит подобно сетке и может быть преобразована в последнюю при условии, что ячейки сетки вдоль границ объекта будут превращены в элементы. В общем случае более мелкая решетка дает сетку лучшего качества, поскольку в такой решетке доминируют внутренние ячейки правильной формы. Разновидности решеточных методов отличаются друг от друга главным образом методом создания граничных элементов.

По всей видимости, первым решеточным методом был метод Такера и его коллег [150]. Согласно этому методу на объект накладывается треугольная решетка, причем все точки решетки, оказывающиеся вне объекта, удаляются, в результате чего получается зигзагообразная граница. Точки на этой границе перемещаются на границу объекта, что дает готовую сетку. Кикучи [84] расширил этот метод для создания сеток, состоящих главным образом из четырехугольников, однако содержащих некоторое количество треугольников. Он использовал прямоугольную решетку (рис. 8.19). Одним из недостатков обоих методов является исчезновение мелких деталей, размеры которых сравнимы с расстоянием между линиями решетки. В других методах точки на границе решетки не перемещаются на

границу объекта. Вместо этого между зигзагообразной границей решетки и границей объекта создаются треугольные элементы, для чего используется алгоритм триангуляции.

Рис. 8.19. Решеточный метод: прямоугольная решетка

Йерри и Шипхард [164] для создания сеток воспользовались квадрантным деревом. Квадрантное дерево представляет собой двумерный аналог октантного, о котором говорилось в главе 5. Это дерево позволяет представить двумерный объект (рис. 8.20, а) в виде набора квадрантов различного размера путем рекурсивного деления исходного квадранта, содержащего данный объект. Процесс деления объекта иллюстрирует рис. 8.20, б, а квадрантное дерево, описывающее процесс деления, изображено на рис. 8.20, в. Сетка строится следующим образом.

78111214152021 1617222318192425

И Узел с материалом

О Узел с потомками □ Пустой узел

в

Рис. 8.20. Представление объекта в виде квадрантного дерева

1. Создается исходный (корневой) квадрант, содержащий объект целиком внутри себя. Этот квадрант делится на четыре квадранта путем деления каждой его стороны пополам. Затем квадранты классифицируются по положению относительно объекта. Если квадрант не лежит целиком внутри или снаружи объекта, он делится дальше. Процесс деления продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворено требование к плотности сетки, после чего берутся квадранты, либо лежащие целиком внутри объекта, либо имеющие с ним общие точки. Если рассматриваются квадранты, имеющие с объектом общие точки, их приходится модифицировать таким образом, чтобы они содержали только внутренние части объекта. Объект, состоящий из квадрантов, лежащих целиком внутри него, а также модифицированных квадрантов, имеющих с ним общие точки, будет выглядеть так, как показано на рис. 8.21, а.

age Рис. 8.21. Построение сетки при помощи квадрантного дерева

2. Каждый модифицированный квадрант делится на треугольные элементы в соответствии с предварительно заготовленными схемами в зависимости от его формы. Квадранты, лежащие полностью внутри объекта, также делятся на части для обеспечения согласования с соседними ячейками. Два соседних элемента называются согласующимися, если у них имеется целое общее ребро (в трехмерном случае - общая грань). Полученная этим методом сетка изображена на рис. 8.21, б.

3. Положения узлов корректируются так, чтобы улучшить форму ячеек. Результат сглаживания сетки демонстрирует рис. 8.21, в. Метод сглаживания будет описан позже.

Описанный метод был расширен на три измерения при помощи октантного дерева. Частично заполненные октанты модифицируются таким образом, чтобы лежать целиком внутри объекта, после чего разбиваются на тетраэдры, точно так же, как в двумерном случае квадранты разбивались на треугольники. Тетраэдры должны быть согласованы с соседними октантами и удовлетворять требованию к плотности ячеек. С учетом всех возможных случаев для этого требуется чрезвычайно сложный алгоритм. Вообще говоря, разбиение модифицированного квадранта в двумерном случае - тоже непростая задача.

Джан и Ли [82] предложили новый метод, согласно которому нужно начинать с треугольного корня (или тетраэдрического в трехмерном случае). Это позволяет избежать описанных выше затруднений. В этом случае квадрантное дерево будет аппроксимацией объекта треугольниками, а октантное дерево - тетраэдра-

ми. Деление треугольного корня на четыре маленьких треугольника показывает рис. 8.22, а, а деление тетраэдрического корня на восемь тетраэдров - рис. 8.22, б.

а б

Рис. 8.22. Деление треугольников и тетраэдров

8.4.5. Отображаемые элементы

Метод отображаемых элементов (mapped element approach) используется в большинстве коммерческих генераторов сеток. Этот метод требует деления объекта на области со специфической топологией. В двух измерениях области могут иметь три или четыре стороны, в трех измерениях области являются чем-то вроде коробок. В каждой области сетка строится автоматически путем отображения данной области на регуляризованную область (правильный треугольник или квадрат в двумерном случае и куб в трехмерном). Регуляризованная область делится на части с учетом ожидаемой плотности сетки, после чего отображается обратно на исходную область. Полная сетка получается слиянием сеток отдельных областей. На границах соседних областей количество узлов должно быть одинаковым, чтобы сетка получилась согласованной. Выполнение этого требования может обеспечиваться как вручную, так и алгоритмически в процессе построения сеток соседних областей.

Методов отображения существует достаточно много. Приведем в качестве примера два типичных метода: трансфинитное отображение и изопараметрическое отображение.

Трансфинитное отображение

Трансфинитное отображение (transfinite mapping) позволяет отображать области (с тремя или четырьмя сторонами в двумерном случае или коробочного типа в трехмерном) на регуляризованную область без всяких геометрических погрешностей. Другими словами, точки, находящиеся на границе исходной области, всегда отображаются на границу регуляризованной области.

Четырехстороннюю область (рис. 8.23, а) легко отобразить на единичный квадрат в пространстве параметров uv (рис. 23, б) методом, который уже использовался при выводе уравнения лоскута Куна в главе 7. Отображение четырехсторонней области на регуляризованную выражается формулой

P(u,v) = (1 -a)Pft(t/) + и Р, (v) + (1 -v)Q0(u) + vQu)-

-(l-u)(l-v)P00 -u(l-v)PU0 -(l-u)vP0J -uvPlu (8.46)

(О <u <1, 0 <v <1).

Затем на параметрическую область накладывается решетка (см. рис. 23, б), и координаты и и v точек решетки подставляются в уравнение (8.46), с тем чтобы получить координаты точек узлов. Значения и и v можно подобрать таким образом,

вдр™ ЯЧ6еК В °ДНИХ УЧаСТКаХ °бЛаС больше или меньше, чем

Qj( 0

Qo(u) **i.o 0 уи

а б

Рис. 8.23. Отображение четырехсторонней области

(и, v, (0, 1, 0)

f(u) (1, 0, 0)

1 и

(0,0,1) ------ о

а б

Рис. 8.24. Отображение трехсторонней области

Область с тремя сторонами столь же легко разбить на сетку из треугольных эпе ХТтТтТГ ТРИЛ ТУЮ интерполяционную фушсд™, работа [8]. Трехсторонняя область на рис. 8.24 (а) может быть отображена Гпя раметрическую область с рис. 8.24 (б) функцией отооражена на па-

1Г

P(u,v,w)

ug(v) wh(\-y) Vh(w) uf(\-w) 4 : +~-+--:-- +

1 -w

wf(u) Vg(l-Ut + + T-2- m-ug(0)-vh(0)

(8.47)

1-й 1-й

Параметрическая область задания уравнения (8.47) описывается следующим уравнением:

u + v + w = l, 0<и<1, 0<v<l, 0<w<l. (8.48)

В этом случае параметрическая область может быть поделена на ячейки заданием набора последовательных значений и и и от 0 до 1 и вычислением соответствующих значений w для каждой пары uvlv.

Трансфинитное отображение трехмерной области выводится тем же образом, что и отображение четырехсторонней плоской области. Единственное отличие состоит в том, что сопрягать приходится шесть уравнений граничных поверхностей, а не два уравнения граничных кривых [166].

Изопараметрическое отображение

Изопараметрическое отобраясение (isoparametric mapping) - это частный случай трансфинитного отображения. При этом отображении только отдельные точки

на границе исходной области (а не вся граница) попадают в соответствующие точки на границе регуляризованной области (единичного квадрата или куба в параметрическом пространстве, рис. 8.25). Другими словами, соответствие границ обеспечивается только в конечном числе точек. Уравнение отображения, таким образом, выводится путем замены точных уравнений граничных кривых в уравнении (8.46) на уравнения кривых, интерполирующих заданные точки. Точно так же и уравнения поверхностей заменяются на уравнения интерполяционных поверхностей. Если для каждой граничной кривой задаются две точки (рис. 8.25, а), в уравнение (8.46) подставляются линейные интерполяционные уравнения. Для трех точек потребуются квадратичные интерполяционные функции (рис. 8.25, б), а для четырех - кубические (рис. 8.25, в).

Кубическое преобразование

-*и

Рис. 8.25. Изопараметрическое отображение

8.4.6. Повышение качества сетки

Некоторые методы построения сеток, в особенности группа методов топологического разбиения, не способны дать достаточно хорошую сетку для проведения анализа методом конечных элементов. Поэтому применяют трехэтапный метод улучшения качества сетки.

1. Если построенные элементы относятся не к тому типу, который требовался пользователю, эти элементы разбиваются на элементы нужного типа.

2. Если размер элементов не соответствует нужному распределению плотности ячеек, они разбиваются на более мелкие.

3. Если форма элементов недостаточно хороша, применяют методы сглаживания сетки.

Преобразование элементов

Если генератор сетки построил элементы, тип которых не соответствует требованиям, эти элементы могут быть преобразованы к нужному типу. Четырехугольники и кирпичики легко преобразуются к треугольникам и тетраэдрам хорошей формы (рис. 8.26). Треугольники и тетраэдры с той же легкостью разбиваются на четырехугольники и кирпичики (рис. 8.27). Однако в последнем случае элементы могут иметь не слишком хорошую форму, потому что углы около добавочных узлов обязательно будут большими. Сетка треугольников может быть преобразована к сетке четырехугольников простым объединением пар соседних треугольников в четырехугольник [64].

Рис. 8.26. Преобразование четырехугольника и кубика в треугольники и тетраэдры

Рис. 8.27. Преобразование треугольника и тетраэдра в четырехугольники и кубики

Детализация сетки

При детализации сетки некоторые ее элементы разбиваются на более мелкие, тогда как другие элементы могут оставаться нетронутыми. Отсюда может возникнуть проблема нарушения согласованности соседних узлов (рис. 8.28, а). Вспомните, что соседние элементы называются согласованными (conforming), если у них имеется целая общая сторона или грань. В треугольной сетке согласованность треугольников обеспечивается бисекцией длинной стороны большего треугольника. Для четырехугольных элементов решение этой задачи отнюдь не про-

сто. Изменение сетки для достижения соответствия четырехугольных элементов с рис. 8.28, а иллюстрирует рис. 8.28, б.

Рис. 8.28. Несогласованная сетка и ее модификация

Сглаживание сетки

Достаточно часто элементы, построенные автоматическим генератором сетки, получаются неказистыми , с острыми углами и сильно отличающимися сторонами. Про такие элементы говорят, что они имеют плохую форму. В этом случае требуется применение метода сглаживания сетки. Наиболее популярен метод сглаживания Лапласа (Laplacian smoothing), согласно которому узлы перемещаются таким образом, что каждый внутренний узел оказывается в центре тяжести тела, образованного связанными с ним соседями. Перемещение обычно осуществляется итерационным путем. Однако в некоторых случаях метод Лапласа не работает или работает недостаточно хорошо. В 1976 г. Германн предложил следующую формулу, по которой и осуществляется перемещение узлов:

N(2-w)rH 4

где N - число элементов около узла i,aw - весовой коэффициент от 0 до 1. Соседние узлы P j, P i и Рпк определяются согласно рис. 8.29. При w = 0 формула (8.49) выражает метод сглаживания Лапласа, а при w = 1 - метод изопарамет-рического сглаживания.

Рис. 8.29. Соседние узлы внутреннего узла с номером /

8.5. Пример анализа по методу конечных элементов

В этом разделе мы демонстрируем построение сетки конечных элементов и выполнение анализа корпуса сотового телефона из главы 1. Мы будем использовать коммерческую программу конечноэлементного моделирования Pro/MESH и коммерческую программу анализа ANSYS. В разделе 8.3 мы описали общую

процедуру подготовки и анализа, которая иллюстрируется диаграммой на

рис. 8.30. Здесь мы приводим подробное описание каждого этапа этой схемы.

Предполагается, что геометрическая модель детали (рис. 8.31, а), уже построена.

1. Упрощение геометрии детали. Перед тем как строить сетку конечных элементов для проектируемой детали, мы должны внимательно изучить ее и определить, нельзя ли ее упростить. Во многих случаях перенос всех подробностей геометрической модели в аналитическую нежелателен, потому что мелкие детали приводят к формированию большого количества маленьких ячеек, что в конечном итоге увеличивает время вычислений1. Поэтому мы можем попытаться упростить геометрию детали методом удаления элементов, не существенных для анализа, таких как закругления, фаски и небольшие отверстия. Далее, детали часто преобразуются к оболочкам, элементы которых являются оболочками, а не объемными телами. В нашем примере тем не менее будут использоваться объемные элементы. Аналитическую модель детали после удаления узких канавок в верхней части передней панели и закруглений между отверстиями демонстрирует рис. 8.31, а.

Предварительная обработка

Решение

Завершающая обработка

Упрощение детали

Указание материалов

Задание нагрузок и ограничений

Построение сетки

Оценка сетки

Передача данных модулю решения

Решение задачи

Обработка результатов

Рис. 8.30. Диаграмма этапов работы

Этих проблем можно избежать, если использовать р-версию конечноэлементного анализа, в которой граница может достаточно хорошо аппроксимироваться крупными элементами при условии достаточно высокого порядка функций формы.

Рис. 8.31. Геометрия детали: а - исходная; б - после упрощения

2. Задание материалов. Перед выполнением анализа необходимо определить свойства материалов (рис. 8.32).

3. Добавление системы координат. Системы координат используются для задания компонент векторов нагрузок и ограничений. Мы можем выбрать для этого декартову, цилиндрическую или сферическую систему координат (рис. 8.33).

MATERIAL HftHDPHOIC

This file tujf be edited using available edit**-. Just type on the necessary lines appropriate values after the * - sign. Commits are not permitted on lines containing Material properties nanes.

VOUHCJWDULUS roISSOHMIln smearMODULUS HASS pEKSlTV

THERHRL EXPAHSIOH COEFF1C1EHT

TKERN EXPANSION EF lEMFEAeIUAE

JHtUCII M. t HPIHC COEFFICIENT

SlKiS LI Nil (OR II 1С I OH

SIAESS LINII FOR COHPRESSIOH

STRESS LIMIT FOR SMERR

THERK)L CSNDUCIIUIIV

ENISSIUITV

SPECIFIC ИЕШ

HARDNESS

CONDITION

INIIIRL 1ЕН0 V FftCIOR END TABLE PRO UNIT HRSS PRO UM1T LEHGTN

2. >-

b.SMAAOe-

Рис. 8.32. Задание свойств материалов

Рис. 8.33. Добавление системы координат

4. Наложение ограничений. Модель готова для задания нагрузок и наложения ограничений. Сначала мы накладываем ограничения на смещения: задняя поверхность должна иметь нулевые смещения по всем шести степеням свободы (вращательным и трансляционным). Эти ограничения обозначены маркерами х на задней панели (рис. 8.34).

Рис. 8.34. Задание граничных условий

Система Pro/MESH позволяет задавать следующие типы ограничений и нагрузок: давление, силу, момент количества движения, смещение, давление на ребро, температуру, ускорение, угловую скорость и суммарную силу (рис. 8.35). Ограничения на смещение бывают пяти видов (рис. 8.36):

О 3components (3 компоненты) - трансляционное смещение точек, ребер и граней;

О Immovable (Неподвижный) - нулевое смещение точки, ребра или грани по трем трансляционным степеням свободы;

О 6components (6 компонент) - трансляции и повороты точек, ребер и граней;

О Fixed (Закрепленный) - нулевое смещение точки, ребра или грани по всем шести степеням свободы;

О Along Surf (Вдоль поверхности) - узлы на выбранной плоскости или цилиндре могут перемещаться только вдоль выбранной поверхности. Узлы на цилиндре могут иметь дополнительное ограничение: перемещаться с изменением только координаты по продольной оси или только азимутального угла.

▼ LOADS/ВС Structural

. МСЛ1

oen /R.tum Щ

STRUCTURAL

J>r* lr* F re*

i*>i!i nt. Dl pl e*<nflt Eda l>r ssure Struct Temp Acceleration

TotilForco

Рис. 8.35. Меню выбора структурных нагрузок и ограничений

Рис. 8.36. Меню задания ограничений на смещения

5. Добавление области. Теперь мы должны определить область приложения нагрузки. В нашем примере нагрузка будет прикладываться в том месте, где откидная крышка соединяется с корпусом телефона. Эта область является частью лицевой поверхности, поэтому мы должны задать часть этой поверхности. Область определяется кривыми, которые строятся непосредственно на поверхности детали.

6. Приложение нагрузок (случай 1). Первая ситуация состоит в том, что крышка полностью открывается и прижимается вниз. Чтобы смоделировать эту ситуацию, мы приложим направленную вверх силу к верхней половине петель и направленную вниз силу в узкой контактной области, где опускающаяся крышка касается корпуса телефона (рис. 8.37). Суммарная нагрузка составляет 0,1 Н в направлении х и -0,2 Н в направлении z в контактной области и 0,2 Н в направлении z в области шарниров. Система самостоятельно рассчитывает распределенную нагрузку при указании суммарной силы, действующей на какой-либо участок (рис. 8.37).

7. Приложение нагрузок (случай 2). Вторая ситуация состоит в том, что крышка открывается и поворачивается. Мы имитируем эту ситуацию заданием нагрузки, изображенной на рис. 8.38. В этом случае величины действующих сил одинаковы и равны 0,2 Н, но направления их действия противоположны.

Рис. 8.37. Нагрузки и граничные Рис. 8.38. Нагрузки и граничные

условия для первой ситуации условия для второй ситуации

8. Оценка сетки. Теперь система может построить сетку конечных элементов (рис. 8.39). Размер элементов может быть задан двумя способами. Глобальные параметры сетки - это максимальный и минимальный размер элемента во всей модели. Локальные параметры сетки - максимальный и минимальный размер элемента на ребре, поверхности или в окрестности точки. На практике удобно бывает построить сетку без задания конкретных значений параметров и изучить результат, который может послужить хорошей отправной точкой. Затем при необходимости можно присвоить параметрам нужные значения и повторить процесс построения.

Система Pro/MESH позволяет использовать элементы двух типов:

О трехмерные тетраэдрические элементы для моделирования объемных пли толстых компонентов;

О плоские треугольные и квадратные элементы оболочек для моделирования тонких компонентов.

Как уже отмечалось, в настоящем примере мы будем использовать объемные (тетраэдрические элементы), чтобы не тратить время на преобразование объемной модели к оболочке перед построением сетки.

Изучив сетку и оценив ее качество, мы можем решить повысить его в отдельных участках. Мы можем указать дополнительные параметры сетки и выполнить построение снова. Для получения приемлемой сетки обычно требуется несколько итераций.

Перестроение сетки. Количество ячеек на рис. 8.39 слишком велико: их около 70 000, что затрудняет анализ и требует слишком больших ресурсов. Нужно уменьшить количество ячеек. Для этого мы увеличим локальный минимальный размер элемента в тех частях, которые не влияют иа качество анализа. Последовательными приближениями мы уменьшили количество ячеек до 20 000 (рис. 8.40).

Рис. 8.39. Исходная сетка построена Рис. 8.40. Новая сетка

Вывод данных системы моделирования. Если мы планируем выполнять анализ методом конечных элементов в другой программе, мы должны создать выходной файл с данными о сетке, который будет содержать:

О элементы и узлы сетки в формате, совместимом с конкретной программой анализа;

О все ограничения, наложенные па модель;

О параметры всех использованных материалов.

В нашем примере мы создадим выходной файл для ANSYS.

Решение и оценка результатов. Выходной файл системы моделирования счи-тывается программой ANSYS, после чего выполняется анализ методом конеч-

элементов. После выполнения анализа можно изучить его результаты - распределения напряжений и смещений (рис. 8.41). Результаты совпадают с нашими интуитивными предположениями о том, что напряжения будут максимальны в области крепления крышки к корпусу.

ht* г \ш

1 i 1im теп ю. t

mW-l -i

twi*t

mov tavoi

am lkwi Ml -.№t*(

ma -и *

l.til

t.w;

Ш.Ю

- 11. 4

U.IW it Mi

1 p

.#4*

. *

Рис. 8.41. Результаты анализа: a - распределение напряжений для случая 1;

б - для случая 2

Вопросы и задачи

1. Представьте, что вы должны спроектировать и выпустить подвесной кронштейн. Сначала вам нужно построить модель, рассчитать распределение смещений и

напряжений, проанализировать эффективность модели и оптимизировать ее форму. Для этого можно воспользоваться средствами моделирования и анализа методом конечных элементов. При помощи коммерческого программного пакета типа NASTRAN или ANSYS решите следующие задачи1.

1) В препроцессоре или программе конечноэлементного моделирования постройте исходную модель изображенного на следующем рисунке подвесного кронштейна и задайте параметры материалов: толщина 10 мм; модуль Юнга Е = 2,07x10й Н/м2; плотность р = 7,8х10 6 кг/мм3; коэффициент Пуассона р. = 0,3.

подшипник)

*Все размеры указаны в мм

2) Запустите программу анализа и получите решение для исходной модели с учетом изображенной на рисунке нагрузки. (Совет: рассчитайте нагрузку, создаваемую подшипником, по формуле BP = F/td, где F= 5000 Н. Для боковых элементов задайте значение 0,001.)

3) При помощи постпроцессора получите графики распределения смещений и напряжений.

2. Проанализируйте распределение температуры в окне с неизолированной тянутой металлической рамой в зимний день. При помощи коммерческого пакета конечноэлементного моделирования постройте модель и сетку из элементов, пригодных для анализа распределения температур. Для построения модели вы можете воспользоваться плоскими примитивами, объединяя их при помощи булевских операций. Модель состоит из различных материалов, поэтому вы должны создавать ячейки с разными свойствами.

(Предположение: окно считается бесконечно длинным. Модель должна представлять собой полосу единичной толщины.)

Поперечное сечение окна и все его размеры приведены на рисунке. Размеры указаны в дюймах.

1 Чертежи к задачам этой главы взяты из книга Введение в ANSYS Rev. 5.0А, том 2: решения задач. Перепечатано с разрешения ANSYS, Inc. (Canonsburg, PA).