Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Замкнутость. у?,Я,йЯе G/HglH-g2H=gl(Hg2)H=gl(g2H)H--= glg2(HH) = {gxg2)H G/H. Произведение двух классов - это умножение каждого с каждым элементов указанных классов.

2. Существование единичного элемента. Так как (eH)(gH)= = (gH)(eH)= {eg)H=gH,io еЯ= Н- единица факторгруппы G/H.

3. Существование обратного элемента. Так как (gH)(g-lH)= = {g-xH)(gH)= {gg~l)H= Н, то g~lHc G/H- обратный элемент к элементу gH е G/H.

Теорема 7.3.3. Для любого нормального делителя Нгруппы G отображение

/:(?-> G/H, где Vge C/(g) о 11,

является гомоморфизмом, ядро которого Н, G/Я-фактор-группа.

Доказателъство. Проверим свойство гомоморфизма сохранения операций: f(gx g2)=(gl-g2)H =(glH)a(g2H)=f(glf(g2). Единицей факторгруппы G/Яявляется Н, тогда

Ker/= {g е G\f (g) = В}.

Имеем VA s Hf{h) = hH= Я, откуда Я с Кег/ С другой стороны, Vg <£ Я f(g) = gH* Я. В противном случае, если gH= Н, то существует такое Л е Я, что gh = е или g = h е Я, что противоречит предположению g е Я. Таким образом, только Я с Кег/ а значит, Кег/= Я.

Теорема 7.3.4. Ядро произвольного гомоморфизма есть нормальный делитель.

Доказательство. Пустьf.GK, где G, К- группы,/- гомоморфизм. Кег/= {Л е G\f(h) = е еК]. Обозначим Я= Кег/-подгругша. Покажем, что Vg е GgH= Eg, т.е. Я- нормальный делитель.

Рассмотрим множество 5= fee (7/fe)= k tK\, где фиксированный элемент. Покажем, что S=g#, где geS - произвольный фиксированный элемент. Пусть gx eS, тогда f(gig~1) = =f(Zi)f(g~~l) =кк~ = е и f(g~%) =/(g~ C?i) = = е. Отсюда glg~leH Kg lgleH или gHg и &е£Я Таким образом, SczgHn SHg, meg еЯСдругой стороны, УЛ eHf(gh) =f(g)f(h=f(g)e= fc. Отсюдаg/z еЛгли £Яс£ Также проверяется, что и Hgcz S.

Получили, что£Я= S= Hg, т.е. Я - нормальный делитель.

7.4. Строение коммутативных (абелевых)

групп

Определение. Группа6 является прямым произведением своих подгрупп и С т.е. G = Gt x G2, если выполнены следующие условия:

1. Пересечение подгрупп Gx n G2 = е.

2. Любой элемент g е G однозначно представим в виде произведения элементов g = g\g2- gk, где gt е Gx uG2.

3. Если gr eC, и gr, eG2, Togr gr, =grzr . Коммутативность указанных элементов позволяет записать представление g = g\g2-gk еG> Wgj e G{ <jG2, в видеg =gJ( g , где eG и

g, eC2. Лемма 7.4.1 утверждает, что это представление однозначное.

Лемма 7.4.1. Пусть G - группа и Gb G2 - ее подгруппы, для которых пересечение G2 = е. Тогда, если g{g2 =g[g2 то gl =g[ng2 =g2, где gy.gl eGj ng2,g2 eG2. Доказательство. Действительно, если gxg2 =g\g2, g-lg\ =

=g2~1g2 =e, т.к. GlrG2 = е. Следовательно, gx =g[ng2 =g2.

Теорема 7.4.1. Группа является прямым произведением своих подгрупп Gx и G2 тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1. Пересечение подгрупп GlG2 = е.

2. Любой g е Gоднозначно представим в виде произведения элементов g = g\g2... &> где g, е Gx u G2.

3. Подгруппы Gy и являются нормальными делителями. Доказательство. (=>) Очевидно, что если группа G является

прямым произведением своих подгрупп Gx и G2, то условия 1-3 выполняются.

{<=) Достаточно показать, что если #( e и g2 е G2, то : = = g2g\. Имеем £1(£2 eg)G2 и gxG2 = Gift, тогдаftft e G2gh откуда ftft - ftft Также e и = ft Gj. тогда ftft e ftGj и, значит, gyg2 = g2g[. Итак, ftft> = ftft =ft>ft а так как G n G2 = e, то из леммы 7.4.1 следует, что ft =ft> и =ft. Следовательно, S\S2 = Sig\-

Утверждение 7.4.1. Пусть G - конечная абелева группа порядка [С =/С1 />2 : /it > raeft.fo-r простые различные числа. Множество = {х е G \ х| = р'1} где а принимает произвольные целые значения, является подгруппой и называется примарной подгруппой группы: G, соответствующей простому числу р.

Теорема 7.4.2. Всякая конечная абелева группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп А(р{), A{p2),...,A(pk),mz \G\ =p1lp2l2...pakk.

Доказательство - индукция по числу простых в разложении порядка \G\ =pxlР21 Р'1 Очевидно, что для \G \ = р справедливо, т.к. в этом случае Л(р ] = G. Пусть теперь p q где(р,д = 1. Покажем, что Спредставимо в виде G=A(p)xA(q). Проверим свойства разложения.

1. А(р) n A(q) = е. Если предположить, что Зх е A(p)xA(q) и х * е, то = и х \ = </fl тогда ирп = q. что противоречит условию =1.

2. Покажем, что любой элемент х G можно представить в виде х =у z, где у е А(р), z е A(q). Поскольку порядок х \ делит IG\,ro\x\ = pf>qA2 ,гд&\1<а,\2< р. Так как (рА[ ,q}2) =1 - взаимно простые, то существует представление +q 1 п =1 (см. п.8.1 алгоритм Евклида), где т, п - целые. Тогда хр 1 1 =х w,w.

2 1 1 2 ЧЛ

х у z, те у =х9 и z ~хр . для которых ур =\хр ч~ =е

и zч 2 =\х:р 4 2 = е . Проверить, если = е, то порядок у \ делит N. Отсюда у е А{р) и z е А(а).

Пусть разложение верно для /< к, т.е. для \G\ =р'*1 р22 ...р',1.

Рассмотрим группу порядка \G\ =p*lp22.. .р°кк тогда возможно прямое разложение =

= {х е G \х\ = />1 pi I -i]11, у, < а - это доказывается как и для

случая Имеем: группа А(рк. - примарная, группа Л(,9Ь

p2,---,Pk-i) - предположению индукции разлагается в прямое произведение своих примарных подгрупп; теорема доказана.

в Утверждение 7.4.2. Порядок конечной примарной группы (подгруппы) А(р) ={х\ \х\ =/} равен А(р) \=р , где п - некоторое положительное целое; а принимает произвольные целые значения.

Доказательство. Рассмотрим следующее разложение примарной группы. Пусть A{ - {а, а2,...,ар ~e)czA{p - циклическая подгруппа максимального порядка \АХ\ = ра 1 По теоремеЛагран-

жа (см. теорему 7.3.1) \А(р) = \А{ \А(р)/Л1 где А(р)/А = {ххА, х2А,..., хкА) - факторгруппа по подгруппе Аь Ясно, что v.v/1e A(p)/Al(xjA)1 =е и, значит, В(р\ = А(р)/А - примарная группа, которая вновь допускает разложение на смежные классы по циклической подгруппе А2 с В(р] максимального порядка, т.е. \А(р) = [Л, \А2 /?(р) 12где|Л21 =ра 2. Исход, пая примарная группа.!! конечного порядка следовательно, за конечное число т шагов получим разложение ! = [si-, \Ат\. или \А(р) = = ра>р \..р =р\щс1А\ = ра>.

Лемма 7.4.2. ПустьА(р) - примарная группа (подгруппа), А с А(р\ - циклическая подгруппа максимального порядка \А \=р с образующим элементом а, А(р)/А- факторгруппа, у е А(р)/, - класс смежности порядка \ у \= ра т.е. ур =е = А, тогда существует элемент у е у того же порядка \ у \ ~ра. Доказательство. Так ткур = А. то для любого у е у выполняется А, где А - единица факторгруппы А(р)/А Следовательно, = ас=аci , где (q,р = 1 и р п. Положим г=й'! - образующий элемент группы .1, тогда у' и [ у1 ] =lzf )

=ZP =е или v =е. Так как z - образующий элемент А, то рЧ+п-\ъ порядок} Вследствие максимального порядка подгруппы А \ = /.порядок \у\<р . Отсюда/?а+л р</или a < р. Теперь

В п of nb~a

равенство ур =z можно записать в виде ур =z =\ Z J ,а

так как zx = z А. то у11* = zf или (угУ = е. Таким образом, элемент е у, порядок которого \ \

Теорема 7.4.3. Всякая конечная примарная группа (подгруппа) разложима в прямое произведение своих циклических подгрупп. Если А{р = {х е G\\x\ =ра\п\Л{р) = р , тоА(р) = С(р'1 )х :-i\p )х.. .хС(рл ), где СОЛ) - циклическая подгруппа порядка ) =р , Х1<12 < ... < Х„ и + + ... + Хт = п. Доказательство - индукция по числу л. Для п = 1 теорема верна, т.к. - ляется циклической и не содержит подгрупп. Предположим, что теорема верна для всех групп меньшего р . Пусть сА(р циклическая подгруппа максимального порядка j = р Рассмотрим факторгруппу А(р)/А= {х{А, XjA,..., х^}. Данная группа является примарной порядка А{р)/А\ <р , т.к. А(р) \ = А \ \А(р)/А\. Предположение индукции позволяет записать для нее разложение А(р)/А= С0>а1)хС0>а2)х...хС0>а*рбозначим через ц еС(ра ) образующие циклических подгрупп. Лемма 7.4.2 утверждает, что существует е и \ = \ и можно положить =>Д Из прямого разложения факторгруппы следует, что любой класс смежности х е A(p)/j можно представить в виде х = z[1z2 ---Zkk, или

х -y\ly.-.ykkA, где ().. ,.... .. то

произвольный элемент х е А(р) представим как х -у\1у'2-У'ка

Таким образом, искомое прямое разложение на циклические подгруппы найдено.

Покажем, что представление А{р) = C(p)xC(pXl )х...хС(рХт ) единственно. Доказательство единственности - индукция по числу п. Для п = 1 имеем А(р] = Cip - свойство выполняется. Пусть оно верно для всех к < п. Покажем, что верно и для групп порядка р . Предположим существование другого разложения группыЛ0>) = Сч>Р1 )х С0>р2 )х...хС0>ру, где р2 < р2 < ... < р, . Ясно, что порядок \А(р)\=рА> -pXl-...-pAm =p(i> -р^2;..-р&1 =рп.

Запишем разложение группы в уточненном виде

А(р) = С{р^)хС{ркг )х...хСО^1 )хц хС(р)х...хС(р) и

--<-

AU>)=Qp*1 )xC0>Pi K..xC0>p2 )xf(p)xC(p)x...xC(p).

Рассмотрим группу (подгруппу) [/К/;) = \ х е А[р)}. Для этой группы справедливы разложения:

\Aip)\p -С(/г! ! )гХ\р>у- х)*....у.С{р** ~1) и (*)

\л(р)]!! =С[/г'1)-.ар*! у-.-.а/1), (**)

теС(ра)={х,х2,...>хР =e}n[C(pa)Y ={хр,х2* ,...,х а =<?}.

Порядок \ /1(у>)] < \А{р) и, следовательно, по предположению индукции разложения (*) и (**) совпадают, т.е. = Pi, = р2,...,А., = pb,rt = а значит, ит - г, = или т = /. Единственность разложения доказана.

Пример. Пусть G - коммутативная группа порядка \ G \ = 42. Так как 42 = 2 3 7, то группа разложима в произведение следующих своих циклических подгрупп = С(2) х С(3) х С(7).

Пример. Пусть G - коммутативная группа порядка G\ = 4. Так как 4 = 2 , то группа разложима в произведение следующих своих циклических подгрупп G= С(4) или G= С(2) х С(2) и в явном виде G = {х, х2, х3, х4 = е} - циклическая или G = {х, у, ху, е) = ~~ \х ~~ х {у у^ ~~

7.5. Строение некоммутативных групп

Определение. Пусть G - конечная группа. Подгруппа #c G называется если порядок ее

Определение. /7-подгруппа называетсясиловской, если порядок ее ра имеет максимальную степень в разложении порядка групп G.

Теоремы 7,5.1(Силова). Пусть G - конечная группа порядка \G\ = PlaiР22 Р\Хк > гДе Pi - простые числа.

Для каждого существует силовская подгруппа группы G.

2. Всякая р-подгруппа группы G содержится в некоторой си-ловской подгруппе.

3. Все силовские подгруппы сопряжены, т.е. если Н,Р- си-ловские подгруппы, то существует такое t е G, что Н= tPt \

4. Количество силовских^-подгрупправно^ к+ 1, где А; -некоторое целое.

Пример. Пусть G - группа порядка \G \ = 28 = 22 71, тогда существуют силовские подгруппы \ \ = 4 и

7.6. Симметрическая группа подстановок

Пусть S - конечное множество из т элементов. Множество всех взаимно однозначных отображений множества S на себя называется симметрической группой Sm степени т. Без ограничения общности можно считать, что множество S состоит из элементов {1, 2,..., т). Каждое такое отображение л : SS называется подстановкой или перестановкой и записывается л = ~ т \ где

7Г 7Г 2 - J

л; = я(/) - образ элемента i =~Tja- Произведением подстановок является композиция отображений (операция группы) (жт)(0 = ст(я(/)).

Например, для подстановок n=\,2\)il а1 Ъ) имеем та =( 11 - 1 истл=( - - ? ], Данный пример показывает, что симметрическая группа Sm не является абелевой (некоммутативная) при т 3. Порядок данной группы IJJ = т\ - количество всех перестановок из т элементов. Единичная (тождественная) подстановка обозначается е = ( ? *и V которая удовлетворяет Vл е Ут

Обратной к к = 1 ? ... является подстановка

л =fЛг I для которой верно, что ля 1 = я~я = е. т )

Утверждение 7.6.1. Симметрическая группаф степени 2 -

абелева.

Определение. Подстановкая, перемещающая элементы, /2,..., /Атак, чтолО',) = i2,n(i2) = i},.,.,n(ik) = ц и оставляющая на месте остальные элементы, называется циклом длины и обозначается ()[.. h,..., ik).

Равносильное определение. Подстановка называется циклической, если каждый из ее действительно перемещаемых элементов ih /2,..., ik можно перевести в любой другой (из действительно перемещаемых элементов), если подстановку применить достаточное число раз. Например, tc(/j) = /2, rc2(i) = n(n(i{)) =n(i2) = /3, rcAOi) = ik,..., пк(1-() = Теперь цикл можно записать: Ъ,...,

7.6. Симметрическая группа подстановок

.209

Пример. I z 14. 5. 6. 7 3 ] = (3, 2,1, 4, 5.6, 7) - цикл длинь семь.

Определение. Два цикла называются независимыми, если они не содержат общих действительно перемещаемых элементов. Например, (1, 2, 3, 5, 9) и (7, 8) - независимые циклы.

Теорема 7.6,1. Каждую нетождественную подстановку можно разложить единственным образом в произведение независимых циклов.

Доказателъство. Пусть я е Щт и ij е S. Элементы ; и/назовем эквивалентными если j = nk(i) для некоторого целого числа к. Введенное отношение есть отношение эквивалентности на множестве S. Оно разбивает множество непересекающиеся классы эквивалентности по этому отношению S = S{ и52 и...--j S,.. Каждый элемент принадлежит одному и только одному классу S причем множество S, состоит из образов элемента; при действии степеней подстановки л: S, = {/,л(/), л2 (/),.- .,лА 1(/)}, где -

количество элементов в S Множества еще называют л-орбита-ми. Выберем в каждом классе S, по одному представителю it и поставим ему в соответствие цикл л, ={/, ,я(/, ),n2{i, ),...,nk~l(il)}. Так как любой элемент, не принадлежащий S остается на месте при действии степеней то перестановка л есть произведение независимых циклов л=п[к2.-.пг.

Замечание 1. Если цикл = ( ) имеет длину то он действует как тождественная подстановка. Такие циклы в записи л = к^.-.Лг можно опускать.

Замечание 2. Независимые циклы в записи л = к,л2.. лггможно произвольным образом переставлять между собой. Так,

Пример.2 3 4 5 = (Ш5)(2)(6)=(1345),

(з 2 1 5 4 вУ)(2К45№ =03)(45) = <45)(13).

Определение. Декрементом подстановки называется разность между числом действительно перемещаемых элементов и числом независимых циклов, на которые она раскладывается. Подстановка называется четной, если d - четное число и подстановка нечетная, если d - нечетное. Введем функцию

, ч Г +1, если я - четная подстановка, sgn(n) = <

[-1, если л -нечетная подстановка,

где я е Sm, тогда sgn(n) = (- \)d.

Например, для подстановки I 1 7 -> 5 4 6 ] = (132) (45) декремент

ч . -/

равен 5 - 2 = 3, следовательно, подстановка нечетная.

Определение. Цикл длины 2 называется транспозицией т = (ар). Для транспозиции декремент = 2 - 1 = 1 - нечетное число.

Теорема 7.6.2. При умножении подстановки л е Sm на транспозицию т = (ар) она меняет свою четность.

Доказательство. Пусть л = (i\i2-r)(J\J2-Js)-(lil2-lP) - разложение подстановки в произведение независимых циклов. Умножим ее на транспозицию т = (ар). Рассмотрим все возможные случаи:

1. a л, р g л.

2. а е л, Р £ тс.

3. а л, р е л.

4. а е л, р е л, а и р принадлежат одному и тому же циклу.

5. а Е л, р е л, а и р принадлежат разным циклам.

Пусть k - число действительно перемещаемых элементов л; / - число независимых циклов в разложении л. Декремент подстановки = k-

1. Пусть а г л, ре тс, тогда тгт = (ixi2...ir)(jj2--Л) .(/.../р(ар). Декремент dinx) = (к + 2) - (/+ 1) = к - /+ 1.

2. Пусть а е л, р я. Будем считать, что ix = а. В этом случае jiT = (ai2...ir)(jJ2...js)...(lxl2...lp)(afi) = (ai2...ifi)(jxj2...j...(lxl2...lp). Декремент d(m) = (к + 1) - /= к - 1+ 1.

Случай a г л, р е л рассматривается подобно а е я, р г л.

4. Пусть аир принадлежат одному и тому же циклу.

Тогда лт = (ai2...imim+2...ir)Uj2--Js)---(hh---lp)() =

= (а/2...)т)(р/т+2.,./г)0Уг..Л)-(А^-У' Декремент d(m) =&-(/+ 1) = к-1- 1.

5. Пусть аел,рея,аир принадлежат разным циклам. Тогда лт = (a/2.../r)(p/2..;/s)...(/1/2... ,)(aP) = {ai2...ifij2...js)...(lxl2...lp). Декремент d(m) = к - {I- \) = к-I + \.

Таким образом, во всех случаях sgn(rt-c) = (-1)*-/±1 = = (-1)±1(-1)*- = - sgn(u) четность подстановки ят меняется.

Теорема 7.6.3. Каждая подстановка я е разлагается в произведение транспозиций не единственным образом, однако четность числа транспозиций постоянна и совпадает с четностью самой подстановки.

Доказательство, я = (hi2...Q{JxJ2...j...(kl2.Jp) ~ разложение подстановки в произведение независимых циклов. Каждый цикл разлагается в произведение транспозиций ( i 2-/r) = ( 1*г)(1*з)-<lf )- Таким способом можно разложить в произведение транспозиций все щтклы подстановки = т^-.-т , где - транспозиции. Теорема 7.6.2 позволяет записать sgn(n) = .., . = sgiiC:....tt.,) -=sgn(t1x2...v1)-(-l)=sgn(t1T2...tn 2)-(-l)(-l) .SgnfTjJC-l)1 = (-1) .

Таким образом, четность подстановки - (-1) совпадает

с четностью числа транспозиций в разложении л =

Следствие 1. sgn(crc) = sgn(a)-sgii(t), а, т - произвольные подстановки.

Доказателъство. Пусть =...sr и т = (л2...t - разложения в произведение транспозицийS/, tj. Тогда от =sls1...srtvt2...tl - разложение в произведение транспозиций. Из теоремы sgn(crr) =

Следствие 2sgn(a 1) =sgn(a), ст 1 - обратная подстановка. Доказательство. Пусть a =sxs2...sn тогда аЛ =sr..s2sx, таккак

стст 1 = (sxs2...sl)(sr...s2sx) = (sx(s2(...(srsr)...)s2)sx$= en(SjS,) = е - тождественная подстановка, где 8} - транспозиции. Первое следствие позволяет записать sgn(aa-1) = sgn(o)-sgn(CT 1). С другой стороны, ста'1 = е - тождественная подстановка и sgn(e) = 1. Тогда sgn(a)sgn(a 1) = 1 и, следовательно, sgn(cr-1) = sgn(a).

Теорема 7.6.4. Число четных подстановок с равно числу нечетных.

Доказательство. Достаточно показать, что \Ат\= т!/2,таккак \Sm = ml. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между четными и нечетными подстановками.

Пусть т - произвольная фиксированная транспозиция. Рассмотрим отображение ср : Sn -> S , где VneSn ср(л) = ят. Пусть а е Ат - произвольная четная подстановка, тогда ср( ) = at - нечетная подстановка.